又一道有趣的概率题(1/2? 1/3? 13/27? 220楼有综述及论文链接, 224楼有BBC文章的链接. 仍须睿智方知本楼问题的答案!

knife

rockbox 发表于 2014-7-10 16:39
这样说，一男一女的情况有两种，已知女孩儿先生或后生；两个女孩的情况也是两种，已知女孩先生或后生；四 ...

这样说，一男一女的情况有两种，已知女孩儿先生或后生；两个女孩的情况也是两种，已知女孩先生或后生；四种情况各占25％。所以

1. 哥妹25％
2. 姐弟25％
3. 姐妹25％
4. 姐妹25％
***************************************************************************************
你的第一步就出错了。 你说的4种情况的概率是25%吗？依据是什么？怎么推导出来的？

正确的分析是：
1. 哥妹25％
2. 姐弟25％
3. 姐妹25％
4. 哥弟25％
原因简单来说就是：生第一胎是男女概率是50%，生第二胎时生男生女概率也是50%。

现在已知至少一个女孩，所以排除第4种情况。剩下的三种情况各占1/3。

分析得够清楚了吧！

分分快点砸过来吧！！

MathsOneOnOne

鄭森 发表于 2014-7-10 15:31
你這算是推翻你前面11#的解答嗎？

不是，只是一个简化的版本

两个孩子之中有一个是女孩，包含了，两个孩子之中有一个是女孩且出生在周六。前者发生的概率是大于后者的。

鄭森

knife 发表于 2014-7-10 18:17
这样说，一男一女的情况有两种，已知女孩儿先生或后生；两个女孩的情况也是两种，已知女孩先生或后生；四 ...

哥弟，已知妹妹？

鄭森

MathsOneOnOne 发表于 2014-7-10 18:21
不是，只是一个简化的版本

两个孩子之中有一个是女孩，包含了，两个孩子之中有一个是女孩且出生在周六。 ...

周六出生是個已知信息，不影響。如果再告訴你已知的那個屬牛，你的答案又不同了嗎？

knife

鄭森 发表于 2014-7-10 18:25
哥弟，已知妹妹？

那只是分析的过程中的一个步骤。

排除所有先入为主的概念，也不要想当然，
请仔细反复研读181楼。

oed

oed 发表于 2014-7-10 12:43
本来非常简单的问题，不明白为什么要弄的那么复杂化。
其他的不说，这个网友提到“考虑两个孩子性别的事件 ...

我承认我这里理解错了，bb bg gb gg是四种等概率组合不是排序，男女组合概率占1／2也没错。
但是1／3概率还是错的。已知一个孩子是女孩，除了剔除bb外，还必须剔除bg 或者gb中的一个，而不是只剔除bb，剩下bg gb gg三种等概率组合

鄭森

knife 发表于 2014-7-10 18:42
那只是分析的过程中的一个步骤。

排除所有先入为主的概念，也不要想当然，

重新閱讀181＃。錯誤在第三，姐妹，已知姐姐。還有一種是姐妹，已知妹妹。

MathsOneOnOne

这里是个一样的例子，作者在MIT做TA时准备的note：

见Example 1

http://people.csail.mit.edu/rameshvs/content/probability.pdf

oed

两个独立的、分别只有两个等概率结果的不确定事件，造成有四种等概率组合。

现在一个事件已经确定了，四种组合应该去掉一半，剩下两个等概率组合才对。怎么可能剩下三个，消失一个呢？

MathsOneOnOne

鄭森 发表于 2014-7-10 18:36
周六出生是個已知信息，不影響。如果再告訴你已知的那個屬牛，你的答案又不同了嗎？ ...

如果把这个家庭看成一次随机试验的结果，那么，两个女孩且其中一个属牛，和，两个女孩且其中一个出生在星期二，发生的概率不一样。

oed

我抛了一次硬币是正面，

请问我再抛一次，是正面的概率是多少？

请问我再抛一次，两次都是正面的概率是多少？

前面认为是1／3的同学来回答下

鄭森

MathsOneOnOne 发表于 2014-7-10 18:56
如果把这个家庭看成一次随机试验的结果，那么，两个女孩且其中一个属牛，和，两个女孩且其中一个出生在星 ...

已知的，概率就是1了。我姓張。那麼，我姓張的概率是1。我是女的概率是1/2。我是姓張並且是女的就是1x 1/2=1/2

stmimi

又是算"概率"  方程都忘了.

kksp

oed 发表于 2014-7-10 19:06
我抛了一次硬币是正面，

请问我再抛一次，是正面的概率是多少？

应该说，如果我抛了9次硬币都是正面，那么我接下来再抛一次正面的机会是多少？
在我抛之前我突然接到 一个朋友的电话，他告诉我他竟然连续抛了9次硬币都是反面，我再抛一次正面的机会是多少:？
然后我再跟他讲电话的时候，发现楼下的小朋友在玩抛硬币，可惜我不知道他们抛了多少次，也不知道有多少次是正面有多少次是反面，请问我再抛一次正面的机会是多少？
我抛完之后没看之前突然想起我昨天原来抛了10次也是反面，请问我刚抛的那次是正面的机会是多少？

000567

oed 发表于 2014-7-10 19:06
我抛了一次硬币是正面，

请问我再抛一次，是正面的概率是多少？

如果你把每次抛硬币看成独立事件 那每次概率都是50%

如果你的题目是 只抛两次 已知一次是正面 那两次都是正面的概率就是1/3

把抛两次关联起来 满足至少一次是正面 这个条件 两次都是正面的概率 是1/3

MathsOneOnOne

鄭森 发表于 2014-7-10 19:11
已知的，概率就是1了。我姓張。那麼，我姓張的概率是1。我是女的概率是1/2。我是姓張並且是女的就是1x 1/ ...

这两个例子不一样

假设有N个姓(假设同等可能)，两种性别，那么一共有2×N个组合，2×N个等概率基本事件

已知姓张，那么符合这个条件的基本事件就只有2个，张男和张女

而符合姓张并且是女的基本事件就只有1个：张女

所以姓张并且是女的的概率就是：1/2。

rockbox

哎呀……洗洗睡吧！

brooksong

转帖知乎关于这个问题的完结贴，说三分之一的可以尝试对号入座一下：

以上支持1/3的都犯了明显的计算错误，而支持1/2的也的确没有说服力。
这是一个已经解决的悖论，维基上有詳細的介绍[1]，非常推荐大家仔细阅读一下。
維基的意思我就不说了，下面着重说1/3的计算错在哪里，以及1/2为何没有说服力。

一种1/3的典型代表是＠魏清玥
自以为列出所有可能，数出1/3。
但是可能的情况不是｛男男，男女，女男，女女｝4个，而是8个，分别是；
老大女，老二女，老大接电话（女）
老大女，老二女，老二接电话（女）
老大男，老二女，老大接电话（男）
老大男，老二女，老二接电话（女）
老大女，老二男，老大接电话（女）
老大女，老二男，老二接电话（男）
老大男，老二男，老大接电话（男）
老大男，老二男，老二接电话（男）
排除男孩接电话的情况，现在您再数数，是不是2/4=1/2？

另一种1/3的典型代表是 ＠茉茉。
＠茉茉 认为，接电话的是女孩 这个条件，等同于 至少一个是女孩。这是非常错误的。
一般情况下，接电话的是女孩 可以推出 至少一个是女孩；
但是请注意，至少一个是女孩 不能推出 接电话的是女孩。
也就是说 至少一个是女孩 是一个更弱的条件，范围更大。
擅自代替，导致扩大条件的范围，进而导致计算条件概率时，得到1/3这样一个更小的結果。
我想这里，条件等价的重要性大家都很清楚，但是我仍以一个例子说明：
接电话的是女孩可以推出至少一个是人，但是后者不能反推前者。
按＠茉茉 的意思，不强调等价，就可以以至少一个是人为条件，得到1/4这样一个更小的結果，岂不荒谬？

维基[1]认为，需要明确该家庭接电话的方式，才能得到答案。
两个极端情况是：如果俩孩子随机接电话，则答案是1/2；如果女孩优先接，则答案是1/3。
这是因为，不同的接电话的方式，决定了接电话的是女孩这一条件的强弱。
接电话的是女孩，等价于 至少一个是女孩 并且 女孩优先接电话。
因此没有 女孩优先接电话 或其他类似假设，＠茉茉 就在扩大条件，其答案就是不能成立的。
而这个假设，又是非常不正常的……

＠茉茉认为维基[1]的做法多此一举，认为题目不明确也不能自己加条件，而且照样可回答。
我目前没有理解她是什么意思，难道题目不明确了，就可以随便扩大或缩小条件的范围了么？
题目条件不明确，好像“一只狗是黑的，问它是什么种类”，不知不做其他假设如何回答？
况且无论如何，直接用不等价的条件代替题设的条件，都不是“认真扎实”的做法啊。
我要求她严格证明，使用 至少一个是女孩 这一条件，如何能因题设的不明确而变得合法，目前为止她都在回避。

1/2的典型代表是 ＠吴健。
＠吴健 使用独立事件的思路，快速得到1/2的結果。
但是要得到 独立事件 这一结论，你们也必须假设：俩孩子随机接的电话。
当然这是一个很自然的假设……但是数学不是想当然。

说服对方的过程中，所有1/2的支持者都在排斥贝叶斯方法，这是非常错误的。
对这个问题，贝叶斯永远是最严谨的解法。如果你认为自己是对的，就要敢于用其他方法去检验。
本题中，应该用贝叶斯得到1/2的結果，然后你就会看到需要假设随机接电话，才能做出独立事件的结论。
1/3的同学都娴熟使用着贝叶斯方法，只是把条件概率中的条件搞错了。你一味排斥其方法，不自己算一遍，怎么可能有说服力……
有了这次独立事件的经验后，做其他题目你可以直接按独立事件来做，但是独立事件永远是一个trick，而不是严谨地解题。

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

附，接电话的是女孩的条件下，两个都是女孩的概率：
P（两个都是女孩 ｜ 接电话的是女孩）
＝P（接电话的是女孩 ｜ 两个都是女孩）* P（两个都是女孩）/ P（接电话的是女孩）
＝1 * 1/4 / P（接电话的是女孩）

假设两个孩子中随机选出一个接电话，则
P（接电话的是女孩）
＝　P（接电话的是女孩｜女女）* P（女女）＋P（接电话的是女孩｜男女）* P（男女）
　＋P（接电话的是女孩｜女男）* P（女男）＋P（接电话的是女孩｜男男）* P（男男）
　＋P（接电话的是女孩｜孩子数不为二）* P（孩子数不为二）
＝1 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 0 * 1/4
＝1/2
（以上第一个等号后第三行专为＠茉茉 所加，此项为零，她若承认我便删去这行）
所以
P（两个都是女孩 ｜ 接电话的是女孩）
＝0.25 / 0.5
＝1/2

另外，这是维基的链接：
http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

brooksong

zhaogod 发表于 2014-7-10 17:02
看你头像你的职业应该是程序员吧？一分钟写个代码试试就知道概率是多少了。事实胜于雄辩. ...

昨晚回去忘了回复了...
这个问题用程序解决有两个问题：一是电脑的随机函数是伪随机，所以得到的数据本身可能有问题；二是概率问题都是建立在大量随机试验基础上的，所以即使你做十万，百万次试验，得到的结果未必是正确的概率，只能说无限接近。
而且最大的问题并不是程序无法得出正确的结果，而是所谓编程也不过是用编程语言将人类语言翻译给机器去执行而已，如果我们讨论的就不是一个问题，或者语境根本就不一致，那么即使我写出程序，你也完全可以不同意这个计算方式。

oed

kksp 发表于 2014-7-10 19:20
应该说，如果我抛了9次硬币都是正面，那么我接下来再抛一次正面的机会是多少？
在我抛之前我突然接到 一 ...

每次抛硬币都是独立事件，和前面的结果没有关联，所以下次的概率都是1/2

oed

000567 发表于 2014-7-10 19:26
如果你把每次抛硬币看成独立事件 那每次概率都是50%

如果你的题目是 只抛两次 已知一次是正面 那两次都 ...

你回答下，我前面两个问题的概率分别是多少？

brooksong

已知一个是女孩，那么我们分两种情况来看：
1. 这个女孩是姐姐，那么存在的情况有：
姐姐妹妹
姐姐弟弟
姐姐妹妹的概率是50%
2。 这个女孩是妹妹，那么就是：
哥哥妹妹
姐姐妹妹
姐姐妹妹的概率是50%
最终，两个女孩的概率为50%
这样够清楚了吧...

000567

oed 发表于 2014-7-11 08:57
你回答下，我前面两个问题的概率分别是多少？

我抛了一次硬币是正面，

请问我再抛一次，是正面的概率是多少？
1/2

请问我再抛一次，两次都是正面的概率是多少？
是否包括了上一次是正面的条件， 包括1/3  没包括1/2

回到这个题目， 如果认为一个女孩是事实，不影响第二个孩子， 那结果就是1/2  如果认为一个女孩是条件，那就是1/3。 所以结果是多少不重要， 重要的是为什么1/2 or 1/3

条件和结果是在概率里是严谨的， 如果你加上女孩是周六出生，或者7月11号生日， 都会影响结果

oed

000567 发表于 2014-7-11 09:25
我抛了一次硬币是正面，

请问我再抛一次，是正面的概率是多少？

我问的两个问题不就是同一个问题么：再抛一次，下次是正面的话，不就是两次都是正面么？

至于周六还是哪天出生会影响概率那也太无稽之谈了。

按照你的意思，星期几、日期、年份都会影响概率。那今天是周五，你算出是某种概率，但是上周五也是周五，这两个周五的概率
是一样，还是不一样？按照你的意思应该是不一样，因为虽然是周五，但是日期不一样，所以概率不一样。

每天日期都不一样，所以你别想得到一个准确的结果了。

oed

有谁记得大学里学习概率论的时候，时间/日期/星期几 是作为计算概率的一个变量？

恐怕只有算命先生了

000567

oed 发表于 2014-7-11 09:36
我问的两个问题不就是同一个问题么：再抛一次，下次是正面的话，不就是两次都是正面么？

至于周六还是哪 ...

你如果考虑上次是正面的条件，那就是1/3. 我觉得是文字描述不够严谨

如果你考虑周五，哪个周五都一样， 计算第二个孩子的时候，就引入周一到周日7种情况

zhaogod

brooksong 发表于 2014-7-11 08:38
昨晚回去忘了回复了...
这个问题用程序解决有两个问题：一是电脑的随机函数是伪随机，所以得到的数据本身 ...

It doesn't matter. Please have a try. At least you will find out it's closer to 1/2,1/3 or 13/27.

brooksong

Dim total = 100000000
        Dim count1 = 0
        Dim count2 = 0
        Dim rand = New Random()
        For x = 1 To total
            REM Generate two random integer, 0 or 1, 0 for son, 1 for girl
            Dim first_kid = rand.Next(0, 2)
            Dim second_kid = rand.Next(0, 2)
            If first_kid = 1 Or second_kid = 1 Then
                count1 += 1
                If first_kid = 1 And second_kid = 1 Then
                    count2 += 1
                End If
            End If
        Next
        Console.Write(count2 / count1)
        Console.ReadKey()

随机100million次试验，最终结果....0.333334...
解释的话就是，至少一个女孩的概率为75%，两个女孩的概率为25%（整体集合为所有家庭），所以1/3...

brooksong

仔细想了一下，还是语境的问题，问题是你究竟是要这个家庭再有一个女孩的概率还是至少有一个女孩的所有家庭中有两个女孩的家庭所占的比例...
这就像如果十个人去抽奖，得奖概率是1%,九人都没有中，剩余一人到底有多大几率中奖，对他自己来说，还是1%,但是对于这十个人来说，有且只有一人中奖的概率会远大于1%

zhaogod

brooksong 发表于 2014-7-11 11:31
Dim total = 100000000
        Dim count1 = 0
        Dim count2 = 0

Sorry I cannot type Chinese now.

That's the same result as I got. Now if you add the Saturday condition to your code, you will get a different result. Weird, hah?