求解一道AMC试题

summerhot

2013年
5-6年级 Upper Primary 30题
9-10年级 Intermediate 28题
11-12年级 Senior 26题

A hockey game between two teams is ‘relatively close’ if the number of goals scored by the two teams never differ by more than two. In how many ways can the first 12 goals of a game be scored if the game is ‘relatively close’?

五年级做这题有希望做出来么?

沧海一粒米

972

月亮

楼上正解，我觉得五年级可以靠画图做出来，不过确实不容易

summerhot

沧海一粒米 发表于 2021-7-13 10:32
972

解题过程来一下。谢谢

scott.songgps

solution attached

act_nan

先看看能不能做出来never differ by more than 1

speedbird

没看懂题。是说完成12 goals之后很接近？还是每个goal都要很接近？

donent74

speedbird 发表于 2021-7-13 11:48
没看懂题。是说完成12 goals之后很接近？还是每个goal都要很接近？

两个队进球数之差永远不能大于二，然后两队一共进了12个球。问这十二球有几种进法。

speedbird

donent74 发表于 2021-7-13 18:37
两个队进球数之差永远不能大于二，然后两队一共进了12个球。问这十二球有几种进法。 ...

太难了，学完高中排列组合才能做出来

speedbird

我的笨办法：
如果两队差0分，下一分有两种可能，两种的结果都是差1分。
如果两队差1分，下一分有两种可能，两种可能的结果分别是差0和差2分。
如果两队差2分，下一分只有一种可能，结果是差1分。
两队不可能差3分。

goal0开始比赛是差0分
goal1有2种可能，2种结果都是差1分。
goal2有2*2=4种可能(goal1的2种结果，每种都可以产生两种结果）。goal2的4个结果里，一半结果差0分，一半结果差2分。
goal3有(4/2)+(4/2)*2=6种可能(goal2的0分结果，每个结果又产生2种结果。goal2的2分结果中，每个结果产生1种结果）
goal4有6*2=12种可能(goal3的6种结果全都是差1分，所以没种结果会产生两个可能）
找到规律了，以此类推
goal5: (12/2)+(12/2)*2=18
goal6: 18*2=36
goal7: (36/2)+(36/2)*2=54
goal8: 54*2=108
goal9: (108/2)+(108/2)*2=162
goal10: 162*2=324
goal11: (324/2)+(324/2)*2=486
goal12: 486*2=972

hhyfirst

speedbird 发表于 2021-7-13 23:04
我的笨办法：
如果两队差0分，下一分有两种可能，两种的结果都是差1分。
如果两队差1分，下一分有两种可能 ...

给楼上配个图

kui3000

成人第一感是动态规划, 用学生的视角是递推.
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f(12) = 2*f(5,6) + 2*f(6,5) = 4* f(5,6)
函数f(5,6) 表示比分5:6。*2因为第12球可以是两队任意一队进球
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f(5,6) = f(5,5) + f(4,6)
f(5,5) = f(4,5) + f(5,4) = 2*f(4,5)
f(4,6) = f(4,5)
因而 f(5,6) = 3*f(4,5)
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同理
f(4,5) = 3*f(3,4)
f(3,4) = 3*f(2,3)
f(2,3) = 3*f(1,2)
f(1,2) = 3*f(0,1)
初始 f(0,1) = 1
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依次代入可得
总数 = 3^5 * 4 = 243* 4 = 972

Auburn

画树状图，要一张大纸

darren

对于小学生来说，还是画树状比较好理解。
其实画树状图不需要全部画出来，画到第四个球规律就看出来了，后面就是计算第N个球比分有几种可能。