一道奥林匹克数学竞赛难度的概率题(368楼接龙另一概率题（尚无解答贴出！））

linyeliu

SoftSome 发表于 2013-1-23 20:15
我认同qinxialin1979的结果。我以前的解法是有问题的。
我很高兴我发了这一贴，让大家包括我自己学到了一 ...

楼主能否告诉我们此题到底出自哪里呢？

SoftSome

linyeliu 发表于 2013-1-23 22:41
这不是算的问题，而是你应该去做个实验，拿2个表随机放入100个盒子，做10次，看看有没有5次2个表在一盒里 ...

对啊，咱们赌钱。
如果两表在一个盒里，我给vale $2,
如果两表不在一个盒里，vale给我$1.
咱们玩一千次，怎么样？
vale 愿意不愿意玩？

SoftSome

vale 发表于 2013-1-23 21:39
也是50%，无论怎么放，都只能放2个盒子里，而盒子是没区别的。你只有2种可能，无论怎么放都归到其中一种 ...

对啊，咱们赌钱。
如果两表在一个盒里，我给vale $2,
如果两表不在一个盒里，vale给我$1.
咱们玩一千次，怎么样？
vale 愿意不愿意玩？

蓝咖啡豆

好啊！如果是玩五千次，我做庄家，赔vale $10 一次两坏表在100盒中同盒也成，每玩一次只收$1，比楼主更慷慨些，调动一下积极性可以吧？

发现这里也有点幽默了，特别是来点带彩的赌注，考虑给足迹创税也行啊，大家的金靴就不用等20年了（按本楼的算术平均速度）

vale

SoftSome 发表于 2013-1-24 10:30
对啊，咱们赌钱。
如果两表在一个盒里，我给vale $2,
如果两表不在一个盒里，vale给我$1.

我清楚你和linyeliu的观点，因为统计概论的基础就是频率不同，取样无限大频率趋向概率，其实就是你们说的可能性不同，用概率来解释概率，统计概论当然有很多应用，但是跳出统计概论的观念，重新考虑这个问题，还有一个point是：已知事件的影响。我可以举个例子来说明概率和事实发生的冲突。

假设有100个盒子，里面有一颗钻石，那么让你从100个盒子里面挑一盒，那么另外一个人打开了剩下98个盒子，里面都没有钻石，这时候让你重新选择，你会挑选剩下那个盒子吗还是继续最开始的挑选？

一个观点是最开始挑到钻石的几率几近于0，剩下那颗几乎肯定有钻石。
第二个情况，就剩下2个钻石，拿到钻石的概率是50%，因为98个空盒是已知事件。

这个就是已知事件对概率的影响。

蓝咖啡豆

可是这个频率的认同有点姗姗来迟。大家都认同隔板板抽球想象的相当精妙，但频率是不用学数学学习的普遍认同，所以pre assume 的认知是很难讨论的。无限次数下频率的一个数值记录下来也是正是基于每一事件等可能的，比如每抛一次硬币。但已知的记录结果不能做为辨论的托词，就是因为一个个记录中本身有罕见的，也有常见的，用记录的品种率去解释概率是荒谬的。当然以品种观察员身份来前提化这个解释是可以有条件的接受的。再比如有观察员孜孜不倦在赌场以每页40行的本子记录抛硬币正反区的接果，几个月下来，终于有一天本子上记录了39个反，他兴奋颤抖着压上了口袋里的所有钱。但接果还是反而输钱。记录结果率和频率不能替换。

SoftSome

vale 发表于 2013-1-24 11:14
我清楚你和linyeliu的观点，因为统计概论的基础就是频率不同，取样无限大频率趋向概率，其实就是你们说的 ...

你不愿意玩，不就是因为你赢钱的概率太小吗？
这里我叫做“概率”的东东，你不叫他概率吗？你叫他什么？
这个我叫做“概率”的东东还是0.5吗？

qinxialin1979

很热闹哦

linyeliu

vale 发表于 2013-1-24 11:14
我清楚你和linyeliu的观点，因为统计概论的基础就是频率不同，取样无限大频率趋向概率，其实就是你们说的 ...

这没有任何争议，当然是第二种观点对，都是50%。你选的最初的盒子有钻的概率，随着每打开一个空盒而增加，从1%递增至50%。

linyeliu

数学是客观严谨的，以我们的水平还不可能讨论到任何有争议的数学问题，只是大家对一些概念的理解有分歧，但标准的概念只有一个。

蓝咖啡豆

一般在理性的讨论中，我喜欢感性站到少数派一边加油。vale的数学能量我是佩服认同的，坦白的讲很多数学我没什么机会在大学深入学习，很多方面只能算小同学，碰巧大家有一点点共同的兴趣，这点共同概率啊绝对偏低，因为以前我从不点击中学版的，解题？拿LP话说，xxxxxxx, 疯了？

再接昨天vale和lin之间品种率数值讨论。没时间也不想再去算了，靠common sense我觉得80%是比37%靠谱的。一个大于50%的记录结果怎么可能小于呢?5块表的捆绑法也许不适合来求品种率，或者简单查拆形穷举表不适用？为什么呢？？4块以下去拆20绝不可能有五百多种，最多一百多种。

再多想了一个例子，用捆绑法做来做记录测试媒介，17配3这种两盒坏表模式被记为13配3，而13配7这种两盒坏表模式也记为13配3 （第一个捆绑5藏在13里，第二个捆绑5藏在3里）这记录连每次记录的频率也被贪污了，估且不说20块这种极罕见情行，＂钻石＂，在记录里居然和其它的记录们平起平坐。

所以37%是争议上再加争议，争议的平方。

vale

我统一来回复一下：

蓝咖啡豆：37%就是我用捆绑法的第一感觉，但是里面基本没有细想，现在看这个捆绑法是有漏洞的，因为我一开始一直认为这个空盒是共识的，但是昨天发现空盒是没有共识的，所以我就开始想这其中的原因。太多年过去了，现在我只能去想idea了，而qixialin的公式我已经不会计算了。

SoftSome：其实我们的焦点还在98个空盒究竟有没有影响这一点上，而统计概论认为是独立的，是不考虑的，所以在你的路走下去，你当然认为你稳赢。稍稍变化一下，因为我知道有98个盒子是空的，所以你随机取2个盒子出来然后再放，你还能稳赢吗？

linyeliu: 我认为是有争议的，如果已知事件没有影响，每一次的独立事件的概率并不因为你知道了上一个打开的盒有没有钻石而变化，这个就是抽签的原理，最后一个签位并不吃亏。这个已知事件影响也不是我的发明，当年曾经困扰过我，所以我才会有此考虑。

SoftSome

vale 发表于 2013-1-24 13:53
我统一来回复一下：

蓝咖啡豆：37%就是我用捆绑法的第一感觉，但是里面基本没有细想，现在看这个捆绑法是 ...

我指的是linyeliu的实验，拿2个坏表和198个好表混在一起随机放入100个盒子中，每盒两个表。
100个盒子都装好后，再全部打开。如果2个坏表在一个盒子中，我给你$2, 否则你给我$1。
重复一千次，你认为你会赢钱吗？

linyeliu

真没想到一道题意清晰明了的数学题还能引发这么多争论，那网上人文，社会问题就真的无法讨论了。vale，概率学没有争议，你当年有疑惑，只是你没有完全搞懂独立事件和条件概率。如果你在权威网站上找到相关争议，我很有兴趣研习。

vale

linyeliu 发表于 2013-1-24 20:07
真没想到一道题意清晰明了的数学题还能引发这么多争论，那网上人文，社会问题就真的无法讨论了。vale，概率 ...

“概率学没有争议”这句话是错误的，你只能说“在某个模型，或者概率学分支，或者某理论下，概率学是没有争议的”，讲概率没有前提是没有意义的。

很简单的例子，绝对不可能发生的事件概率为0，但是概率为0的事件是可能发生的。在不同分支里面有不同结论。

我前面举的例子，不过是著名概率学悖论的变形体罢了，我把动物换成钻石，房子换成盒子，如是而已。

vale

SoftSome 发表于 2013-1-24 14:42
我指的是linyeliu的实验，拿2个坏表和198个好表混在一起随机放入100个盒子中，每盒两个表。
100个盒子都 ...

他的实验是2个坏表放100个盒子里面，我前面解释的很清楚，你赢不了，你为什么又改变了假设然后继续呢，设赌局也得遵守规则啊，不能我说了方法之后，你换了题目重新再来，就算再来也得一个一个来。

随机从100个盒子取出2个盒子，然后把2块表放进去；然后重新第二次，再取2个盒子，再放2块表。随你想做多少次，旁边再借2盒子，放dollar。
你不去思考为什么结果会变化，怎么搞得清统计概率只是概率的一种理论而已。。。。

SoftSome

vale 发表于 2013-1-25 16:42
他的实验是2个坏表放100个盒子里面，我前面解释的很清楚，你赢不了，你为什么又改变了假设然后继续呢，设 ...

我253楼的实验就是本楼最初问题的缩小版本，
按照你对原问题得到概率0.37的方法，对253楼的问题你的答案是你赢$2的概率是0.5，不是吗？
而这个概率是0.5的答案是错的，不是吗？

qinxialin1979

SoftSome 发表于 2013-1-25 16:52
我253楼的实验就是本楼最初问题的缩小版本，
按照你对原问题得到概率0.37的方法，对253楼的问题你的答案 ...

概率是37％是百分百错误的，如果vale的想法是对的话，那么对应的概率是80％多的。

SoftSome

vale 发表于 2013-1-25 16:42
他的实验是2个坏表放100个盒子里面，我前面解释的很清楚，你赢不了，你为什么又改变了假设然后继续呢，设 ...

用你的方法得到的概率，无论是37%，还是80%多，还有针对253楼缩小问题的50%的解答，都是错的，而且错得很离谱，难道不是吗？

你让我想起关于一个迂腐的穷酸书生的故事，说的是那个迂腐的穷酸书生的母亲死了，有人送来一个奠幛，还有四张纸，上边写着四个大字：“德配孟母”，让迂腐的穷酸书生自己缝上。迂腐的穷酸书生翻来倒去看不懂，上网Google了一通，最后排成了“母配孟德”，缝在奠幛上，还对别人炫耀说，我的知识很丰富，孟德就是曹操，我只是把他的名换成了他的字，如是而已。

qinxialin1979

vale 发表于 2013-1-23 19:39
穷举结果如下： ，当然是google的，不是我算的。

所以概率=231/627=37%

这个方法看似没有问题，其实是错误的。在什么地方呢？
这个用的其实是条件概率和全概率的一个公式。
假如在整个空间里面，出现不同情况的事件定义为B_i。在本问题里面，B_i就是各个不箱子里面坏表的数目不同的情况。例如，
B_1: 全是1
B_2: 只有一个是2，其他的都是1
。。。

B_627: 全在一个箱子的情况。
那么事件A出现的概率是
P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...P(A|B_627)P(B_627)

对于每个事件，出现至少有一个箱子>=5个坏表的概率当然是0 或者是 1。
但是vale忽略了一个关键问题， 那就是他认为每个事件B_i 出现的概率是均等的，也就是1/627。
其实这个是不对的。

举个最简单的例子：4个箱子（每个箱子2个位置），2个表的问题。
B_1: 1, 1, 0, 0 (出现的可能，P(4,2)*2*2=48(表有序的情况))
B_2: 2, 0, 0, 0 (出现的可能，P(4,1)*P(2,2)=8(表有序的情况))
总数是P(8,2)=56

P(B_1)=48/56=6/7
P(B_2)=8/56=1/7

qinxialin1979

所以每个事件B_i出现的概率不是均等的。在计算P(B_i)的时候，就要对每个事件进行分析，这样就回到我原来的解法去了。

qinxialin1979

vale 发表于 2013-1-25 16:32
“概率学没有争议”这句话是错误的，你只能说“在某个模型，或者概率学分支，或者某理论下，概率学是没有 ...

这种说法不对。
如果发生的概率是0，那么这种事情是不可能发生的。如果发生了，那么它的概率肯定不为0。
相反的，如果发生的概率为非零，那么它是有可能不会发生的。

qinxialin1979

vale 发表于 2013-1-24 11:14
我清楚你和linyeliu的观点，因为统计概论的基础就是频率不同，取样无限大频率趋向概率，其实就是你们说的 ...

这个是条件概率，也是在已经有98个盒子已经打开了的情况下，才会发生的概率。

qinxialin1979

SoftSome 发表于 2013-1-26 22:51
用你的方法得到的概率，无论是37%，还是80%多，还有针对253楼缩小问题的50%的解答，都是错的，而且错得很 ...

我在260楼解释了vale错误的地方了，估计他现在应该能想得通了

qinxialin1979

这道题困扰了我很久了，现在终于可以解脱了。大家也该散了了

SoftSome

本来不想触及另外的一个主题，因为跟本楼主题没太大关系，所以也一直没有参与。
vale提到的开钻石盒的问题，是著名的Monty-Hall问题的变脸。
因为前面有的同学对开钻石盒的问题的解答是错误的，所以觉得有必要指出来。
有兴趣的可读下面的文章：
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
（网页左下栏有中文文章的链接）。

rabbitpoint

SoftSome 发表于 2013-1-27 12:10
本来不想触及另外的一个主题，因为跟本楼主题没太大关系，所以也一直没有参与。
vale提到的开钻石盒的问题 ...

历史实在不忍细读。没仔细看。看来有同学给出公式了？哪位同学给算算看，用这个公式，如果我简化下题目，有2块坏表，这两块坏表挤到一个盒子里（其它不变，还是24个盒子）的概率是多少？

rabbitpoint

还有我觉得公式中若出现576这个数字就有问题，至少走了弯路。这个题目和20个球随机放到24个盒子里，至少有一个盒子至少有5个球的概率是多少是一样的吧。再想，在考试中出现很复杂的计算不太可能，怎么算，有计算机或软件可以用吗？我有类似一个题，用公式，5个人坐下来打牌（一副），问中间有人摸到至少3个2的概率是多大？再简单一些，有人摸到两张王的概率是多大（别告诉我不是20%）？我不希望你问有几张牌，只希望你问有几个2，几个王。这么说，还是这一副牌，我再用54张空白卡片混进去大家摸，这个概率是一样的。所以我觉得这个题和扑克牌问题很接近，肯定有人做过类似研究。我没说有576的答案不对，至少走了弯路。

qinxialin1979

rabbitpoint 发表于 2013-1-28 08:45
还有我觉得公式中若出现576这个数字就有问题，至少走了弯路。这个题目和20个球随机放到24个盒子里，至少有 ...

有没有576，结果是不一样的。
关键的问题在于同一个盒子里面排手表的时候，那24个手表是不是有顺序的，还是丢在一起就完事的。
你所说的就是没有涉及的在同一个箱子里面的排序问题的。

举个简单例：2个手表，3个盒子，每个盒子有2个位置。

（1）位置有区别的(总数是P(6,2)=30)：
         2＋0＋0的情况＝P(3,1)P(2,2)=6
         1＋1＋0的情况＝P(3,2)P(2,1)P(2,1)=24
（2）位置没有区别的(总数是3^2=9)：
         2＋0＋0的情况＝P(3,1)=3
         1＋1＋0的情况＝P(3,2)=6

可以看出上面两种情况，各个分类之间（2＋0＋0， 1＋1＋0）不是线性关系的。那么求出来的结果自然就会不同。

qinxialin1979

rabbitpoint 发表于 2013-1-28 08:45
还有我觉得公式中若出现576这个数字就有问题，至少走了弯路。这个题目和20个球随机放到24个盒子里，至少有 ...

每个人能拿牌的数目直接决定最后的概率的。
拿牌的情况是直接在牌洗好的时候就决定了的，那就是说总是是这些牌的全牌，这里有54张牌，就是表示有54个位置。
假设每个人能拿n张牌，那么第一个人拿到的牌就是第1，6，..., 5n-4张牌
第二个人拿到的牌就是第2，7，..., 5n-3张牌
第三个人拿到的牌就是第3，8，..., 5n-2张牌
第四个人拿到的牌就是第4，9，..., 5n-1张牌
第五个人拿到的牌就是第5，10，..., 5n张牌
剩下的就是底牌了。

一个人能拿到两张王的概率直接取决于这两个王在哪个位置，所以总数是54*53, 而同一个人能拿到的可能有5*n*(n-1).
这样概览就是 5*n*(n-1)/(54*53)

类似的一个人至少拿3个2的概率取决于这4个2在哪里，所以总数是P(54,4)， 而一个人拿4个2的可能有5*P(n,4), 一个人拿3个2的可能有5*C(4,3)*P(n,3)P(54-n,1)。所以对应的概率应该是 (5*P(n,4)+5*C(4,3)*P(n,3)*(54-n))/P(54,4)