一道奥林匹克数学竞赛难度的概率题(368楼接龙另一概率题（尚无解答贴出！））

蓝咖啡豆

Inspired indeed by Qinxialin TX’s answer! The graph is awesome and very powerful!! It is the best illustration of the overlap possibilities mentioned earlier in linyeliu TX’s post.

I have half rechecked your cal as your partA is 0.0304588 (which is exactly as blackbut) (and the ultimate logical reason is because P(A,B)=C(A,B)*B! )

Your part B is 0.59% of part A, presumably , part C would be another 1/1000 of B and D is even smaller.

99.41% on A is 0.03028. (close enough to your answer).

And linyeliu TX’s answer earlier is 24* 0.000830741=0.01993778 –B+C-D, say 0.0196.

And my answer at this stage (80%) is Excel formula =1- POWER((1-donotgo),24)= 1-0.9802515=0.0197485.

My concern is the condition used in my answer might be too hash, only because I am not able to accurately explain the gap between 2% to 3%.

But 100% surely larger portion of repeating area in the selection has not been excluded yet in Qinxialin TX’s answer. (e.g 6 & 6, 7 &7)

蓝咖啡豆

My answer on 129# might be correct (only 20%possible) because that is an improved version of blackbut TX.

0.0277428*0.994 =0.02758

C(20,5)*24*C(475,15)/C(480,20)*~0.994


96 watches have been excluded in the cal. I have a feeling simplified rule can be applied in that situation. But I have no time to prove it.

SoftSome

“居然”这个词前面有人用过，这里借用一下：
居然越来越接近我的答案了，真是天道酬勤。

linyeliu

蓝咖啡豆 发表于 2013-1-21 13:22
Inspired indeed by Qinxialin TX’s answer! The graph is awesome and very powerful!! It is the best i ...

我发觉你的直觉一直很准，包括一些估计百分比及那道网球题。你的20%正确答案，我看不透公式的内涵，但80%的答案有一小问题在于你把小于5 个的概率连乘24次，这需要每个盒子完全独立，也就是当第一盒小于5个后，第二盒小于5个的概率不变，而事实上，概率会发生非常小的变化，或大或小取决于第一盒是没有坏表，还是有一个或更多。
我的解 D 项与 qinxialin TX 的一致，但B 项可以通过两超过5的盒相加从10到20进行罗列，C项用三盒从15到20进行罗列，不过还是太烦了，具体式子就不列了。
楼主能否展示下你的公式，大家一切探讨？

linyeliu

蓝咖啡豆 发表于 2013-1-21 13:50
My answer on 129# might be correct (only 20%possible) because that is an improved version of blackbu ...

仔细再看了你的算法，你好像是把空盒中好表撇去，这个不对，假想你放入1000个盒子，你撇去空盒，公式差不多，但实际概率显然应该是非常小。

vale

linyeliu 发表于 2013-1-20 22:26
我的方法确是基于手表不同来求的，你假设手表无差别，当然也可以，问题是分子分母有重复，并不能通过相除 ...

我的答案解答了表同盒不同的概率问题，但没有解决表同盒同的概率问题。

事实上我认同149楼fishee3的答案，因为他用了穷举法，假设他穷举没犯错误，那就是正确答案，就是花点时间而已，但是用穷举法意义不大，要找到公式才行。我最开始看到题的时候的大致估计也是概率比较大。

SoftSome

linyeliu 发表于 2013-1-21 22:48
我发觉你的直觉一直很准，包括一些估计百分比及那道网球题。你的20%正确答案，我看不透公式的内涵，但80% ...

我的方法非常非常烦，所以暂时不贴也罢。

另外回其他几位TX的帖子：

先能够得到正确答案才是硬道理！

现在的问题是，先不管用什么方法，
包括非常非常烦的方法，甚至穷举法和计算机模拟，
只要你能得到正确答案！ 然后再考虑用好的妙的方法！

Janet

我的想法，可不可把这个问题简化为把20只表放进24个盒子，至少一个盒子里表的数目〉=5 的概率
也就是：1 - 每个盒子里最多一只表的概率 - 最多2只表的概率 - 最多3只表的概率 - 最多4只表的概率

= 1 - 24!/(24^20X4!)

SoftSome

Janet 发表于 2013-1-22 01:31
我的想法，可不可把这个问题简化为把20只表放进24个盒子，至少一个盒子里表的数目〉=5 的概率
也就是：1 -  ...

"至少一个盒子里表的数目〉=5 的概率
也就是：1 - 每个盒子里最多4只表的概率"

是对的。

SoftSome

Janet 发表于 2013-1-22 01:31
我的想法，可不可把这个问题简化为把20只表放进24个盒子，至少一个盒子里表的数目〉=5 的概率
也就是：1 -  ...

“至少一个盒子里表的数目〉=2 的概率
也就是：1 - 每个盒子里最多一只表的概率

= 1 - 24!/(24^20X4!)  “

是对的。

Janet

随机取出5只表，放入任意一个Box中，然后剩下的15个随便放

结果 = C(20, 5) * 24* 24^15 / 24^20 = 0.04673

这个对吗？

SoftSome

Janet 发表于 2013-1-22 11:39
随机取出5只表，放入任意一个Box中，然后剩下的15个随便放

结果 = C(20, 5) * 24* 24^15 / 24^20 = 0.0467 ...

用这一方法算一下有40块次品表的情形，就知道了。

qinxialin1979

接188楼的想法
要算的概率就是1－每个箱子的坏手表都<=4.

假如有ni个箱子有i 个坏手表，并且当时只剩下x个坏手表可以分配的话，这种情况有

就拿20个坏表举例吧，如果有4个坏表装在一个箱子里面的话，这样的箱子如果有5个的话，那么
从20个里面选4个，无序 c（20，4）
从剩下的16个里面选4个， c（16，4）
从剩下的12个里面选4个，c（12，4）
从剩下的8个里面选4个，c（8，4）
从剩下的4个里面选4个，c（4，4）
但是这种选法是有顺序的，所以要除以P（5，5）
而在每个箱子里面排序的话可以有P（24，4）的5次方

qinxialin1979

那么每个箱子的坏手表都<=4的可能就有 s种 （下图公式里面）

4个表一起的箱子的个数是n_4的话，那n_4可以从0一直取到5。
假如n_4已经取定了，（假设n_4=2）。
那么剩下的有20－4n_4个表可以供其他的不超过3个坏表的箱子分配。（假设n_4=2，就剩下12个）
3个表一起的箱子的个数是n_3的话，那么n_3可以从0一直取到(20－4n_4)/3 的整数部分 （假设n_4=2，就可以取到4）
假如n_3已经取定了，（假设n_3=1）。
那么就剩下了20－4n_4-3_n3个表可以供其他的不超过2个坏表的箱子分配。（假设n_4=2，假设n_3=1，就剩下9个）
2个表一起的箱子的个数是n_2的话，那么n_2可以从0一直取到(20－4n_4－3n_3)/2 的整数部分（假设n_4=2，假设n_3=1，就可以取到4个）
假如n_2已经取定了，那么剩下的都是供只有1个坏表的箱子分配了
只有1个表的箱子的个数是n_1的话， 那么 n_1=20－4n_4－3n_3-2n_2.
这个时候总共有n_1+n_2+n_3+n_4个箱子装有坏表，在24个箱子里面进行全排，得到P（24，n_1+n_2+n_3+n_4）

qinxialin1979

这样原问题的概览就是1－s／d，其中d是总数目d＝576＊575＊...557。
这样算下来概率是0.01988728936

我也试着用这种方法将总数算出来，看看是否等于d。这样要有20个循环嵌套很不幸有误差，总数减d不是0，而是1.3611e+39，但是这个误差除以d之后等于10负16次方，所以这样的误差几乎可以忽略不计了。

当然其中的误差可能是我编程有错误也可能是因为数字太大而引起的

Janet

qinxialin1979 发表于 2013-1-22 12:25
这样原问题的概览就是1－s／d，其中d是总数目d＝576＊575＊...557。
这样算下来概率是0.01988728936

好像你这个结果最接近LZ的正确答案 2%。MM很厉害

大学学的概率论都忘得差不多了，就剩下高中的排列组合。

蓝咖啡豆

我用9块表，3 只盒，3 坏表验证了一下我的#80%答案，验证表明不能用连乘， 而应该是乘以盒子数量。

这样又回到了140楼linyeliu的推想，也接近qinxialin的新解。

#20%的答案我对空盒猜想的大胆尝试，没有任何意义。

我放弃努力了。我锁定我的答案0.000830741*24=0.0199378再乘以一个无限接近1的factor.

谢谢楼主把握讨论节奏，如果愿意，帖答案吧。对思维严谨已很有帮助，但已经不像奥数题了，重技巧而不是复杂。

蓝咖啡豆

验证不能用连乘， 而应该是乘以盒子数量

蓝咖啡豆

57 out of 84种罗列is the accurate answer. X3 not ^3

#80%答案思路：
一盒0块坏表率：                 C(556,24)/C(576,24)=0.4206839
一盒1块坏表率：           20*C(556,23)/C(576,24)=0.3788523
一盒2块坏表率：C(20,2)*C(556,22)/C(576,24)=0.1550172
一盒3块坏表率：C(20,3)*C(556,21)/C(576,24)=0.0382473
一盒4块坏表率：C(20,4)*C(556,20)/C(576,24)=0.0063686

Chances less than 5 in total: 0.99169259

Chances less than 5 in every box: 0.99169259^24=0.9803

Chances not less than 5 in every box: 0.0197

非常赞同对我答案的评论，我想过，其实任何时候我觉得我的答案都不妥当，数学是精确的，连我自己都无法完全说服我，所以都是不确定的。但想到有助于帮助楼主推动一下群策群审的热情 的， 就试了。

概率的24次连乘是我一时的匪夷所思瞎想和结果巧合贴近2%而已。我在无正统概率背景cowboy地认为：任意状态下每个盒都小于5块坏表，如果分解为有条件下，时刻随已知盒子状态下的状态而微小改变的概率累计，我感觉会无限接近相对独立事件的任意连乘。怎么描述呢？我觉得无法描述。描述起来就像一旦把随机变为有序dependency, 每一种亚条件花时间去罗列对应情形，概率微小的或大或小的调节，在有规律的放大排序情形系数，最终除以总集合数，平均下来，我就感觉会无限接近这种连乘的结果。

qinxialin1979

楼主公布答案吧

qinxialin1979

我觉得我的方法应该是没有问题的，因为我将数目改小些，总和是相等，例如10个坏表，12个箱子每个箱子的位置是12个。

所以误差是因为数值太大引起的。

linyeliu

qinxialin1979 发表于 2013-1-22 12:20
那么每个箱子的坏手表都

佩服dx的清晰思路和毅力，我觉得式子没有漏洞。答案应该是准确的。不只大侠有没有考虑用C(576,20)作为分母，分子做些修改，数值应该小得多，不知道结果是否一样。

qinxialin1979

linyeliu 发表于 2013-1-22 20:32
佩服dx的清晰思路和毅力，我觉得式子没有漏洞。答案应该是准确的。不只大侠有没有考虑用C(576,20)作为分 ...

没有力气了
ld要骂了

qinxialin1979

linyeliu 发表于 2013-1-22 20:32
佩服dx的清晰思路和毅力，我觉得式子没有漏洞。答案应该是准确的。不只大侠有没有考虑用C(576,20)作为分 ...

如果将c（576，20）作为分母的话，就意味着在s的公式里面要除以P（20，20）。因为这个s是个求和项，也没有P（20，20）是公因子，所以不是那么容易简化的。

linyeliu

qinxialin1979 发表于 2013-1-22 23:24
如果将c（576，20）作为分母的话，就意味着在s的公式里面要除以P（20，20）。因为这个s是个求和项，也没 ...

我借用你的式子，字母含义不变，用组合的方法求d=
C(24,n1)*C(24-n1,n2)*C(24-n1-n2,n3)*C(24-n1-n 2-n3,n4)*C(24,1)^n1*C(24,2)^n2*C(24,3)^n3*C(24,4)^n4
连加符号和范围不变，分母为C（576，20），不知道结果与你的一样吗？

qinxialin1979

linyeliu 发表于 2013-1-22 23:58
我借用你的式子，字母含义不变，用组合的方法求d=
C(24,n1)*C(24-n1,n2)*C(24-n1-n2,n3)*C(24-n1-n 2-n3 ...

结果是一样的
厉害

SoftSome

qinxialin1979 发表于 2013-1-23 00:31
结果是一样的
厉害

好厉害！我看不出什么问题。给大家些时间琢磨琢磨发表下意见吧！

linyeliu

qinxialin1979 发表于 2013-1-23 00:31
结果是一样的
厉害

谢谢，好像终于有2种方法算出的结果一样了。
二楼的小朋友才厉害，我们算了这么多天，人家早就给出了答案。

qinxialin1979

接202楼的推导。这两种方法得到的结果是一样的。

linyeliu

qinxialin1979 发表于 2013-1-23 12:15
接202楼的推导。这两种方法得到的结果是一样的。

厉害，我昨晚也试图从公式上推导至一致，但总有几项没消去，可能公式一开始有些弄错了。
好在你的计算机能力出色，再算了一遍，让你费心了。