一道奥林匹克数学竞赛难度的概率题(368楼接龙另一概率题（尚无解答贴出！））

pessy

六分之一

rabbitpoint

楼主呢？楼主发现原来以为的答案不是这题的，不知道如何收场了....

SoftSome

rabbitpoint 发表于 2013-1-11 13:19
楼主呢？楼主发现原来以为的答案不是这题的，不知道如何收场了....

哈哈，那倒没有。仍然坚信我的答案是正确的。我在忙别的事情。
我的答案近似精确到小数点后三位是0.028.
解法再贴。

rabbitpoint

SoftSome 发表于 2013-1-11 13:31
哈哈，那倒没有。仍然坚信我的答案是正确的。我在忙别的事情。
我的答案近似精确到小数点后三位是0.028.
...

看了你的答案，我对2楼的弟兄佩服的五体投地。在我们都在猜袋鼠几条腿的时候，人家果断答3，最靠近答案。oh, yeah!

蓝咖啡豆

I googled “probability” and get a better understanding on basic probability formula and why the answer should be less than balckbut but more than 24 times on donotgo’s after my first discussion.

Thanks for sharing this good question and I really enjoy the Wiki brief.

http://en.wikipedia.org/wiki/Probability

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA

Waiting for the solution but will try after work again!!!

taku

vale 发表于 2012-12-26 20:09
盒子都是一样的，这是组合问题，不是排列问题。

20块表放24个盒子里面和20个盒子里面是没有任何区别的， ...

It is true that at any time there are at least four empty boxes; however, if you ignore those four boxes, the percentage you got will be incorrect, the chance became larger.

taku

the answer should be

SoftSome

vale 和 blackout 还在坚持认为自己的解法和答案是正确的吗？

蓝咖啡豆

要出门了，试个解答0.0277428
C(20,5)*24*C(475,15)/C(480,20)

linyeliu

donotgo 发表于 2013-1-1 13:33
0.000830741

我用以下式子反过来算某一盒至少5个坏表的概率，与你的计算结果完全一致，0•00083074
1-[C(20,0)*C(556,24)+C(20,1)*C(556,23)+C(20,2)*C(556,22)+C(20,3)*C(556,21)+C(20,4)*C(556,20)]/C(576,24)
24*0•00083074=0•0199378
因为存在2盒，3盒，4盒都有至少5个坏表的情况，以上结果应该略大于最终结果。

蓝咖啡豆

唉，又有人吭声了，但没人评论我的，楼主也不见踪影，估计答案不行。

来点娱乐气息，结果并不那么重要，但思考的过程还是很快乐的， 尤其是一开始就有幸读到不同的解答和评论了。我感到判断不同解答的正确与否，有时比写个答案更难。

今天接着特别多码几个字，献给足迹生日，也献给不小心参与了这个怪题的同学们啦。

空盒设想

看到题目第一时间的瞬间联想是空盒， 画面是576块表中的那20个坏表均匀的分布在20个盒子里，有4个盒是空的，直觉上极限均匀分布这一随机形状应该是阻止5块及大于5块坏表同盒的最大概率之一， 同时也还想到这是坏表势力的最大盒子占用数量，每多同居在一个盒子里，空盒就会多出一个，到最多时就全挤在一个盒子里。（当然比如单盒坏表3，1配还是2，2配是就是细节问题了）。总之坏表空盒的数量是4到23个。

空盒挑战

读了当时4页的解答，最为vale的隔板简化问题思维折服，amazing creativity之外， 解答最大化强调了空盒设想。当然个人认为，linyeliu的评点也是非常专业的，（概率上我真是小学生，看了什么等可能事件， 什么集合用词之后， 我就google, baidu了概率，看懂了几个基本公式。但条件概率想法越多，可能联想的集合的层次的无限复杂，扰乱正常的懒人解题思路。

再读blackbut

看完题目后不久读到这一解答，逻辑清晰，不用懂计算，反正就没看出不妥。分母在之后的几天我一直坚信是正解。C(576,20)挑战C(576,24)我认为是简化问题计算的核心。但C(24,5)的五个位置设定，我后来觉得是不必要的，我更认为是C(20,5)的筛选。这样就没有重复选择了。

再读donotgo

我在计算公式弄懂后，offset几项，excel一拉，复制了5份，只用replace几个领头数，果不其然，我也很快得到一模一样的数值，可见计算donotgo何等精确！但我没用你的5，15配加6，14陪， 用1减去0，20配到4，16配的概率，结果一模一样。同时看到概率其实就是common sense,C(556,24)on C(576,24)就是42%的概率，随机拿起一盒会有42%里面一块坏表都没，很合理。但拿24个位子做分母考量其变化为我思考所不想去穷尽。哎，幸好没选择什么数学专业

5块怪解

仅为参考娱乐。4个空盒已成定局，但当某一和5个在一块时，无形中等同于又添加了四个空盒。人为制造四个全好表率，为556/576到461/481的连续相乘，结果是0.024378，能够作为可比性参考吧。

回到空盒
（看情况再说吧。。。）

donotgo

linyeliu 发表于 2013-1-13 15:58
我用以下式子反过来算某一盒至少5个坏表的概率，与你的计算结果完全一致，0•00083074
1-[C(20,0)*C(556, ...

不懂这一行什么意思。。。

24*0•00083074=0•0199378

是说24盒的每一盒出现至少5个坏表的个数？可是24个盒子是无差别的啊。。。

我问了个数学系的同学，他这样回答我

the typical way to do the question should be 1 - prob(every box has at most 4 defective watches), call this prob. 1 - p_1... and we can compute prob(a *specific* box has at most 4 defective watches), call this probability p_2... we can't get p_1 exactly from p_2, because there's a subtle dependence across the boxes; of course, p_1 is approximately p_2^n

蓝咖啡豆

如果本题需要数学系求解，像我这样文科同学已失去了参与价值。看重思维技巧才好用得上本帖的名字。不过我也有请两位大学高数满分的IT界朋友上来，都很腼腆，没见现身。 （不过我还是喜欢你们）

Celesteyu

4.673%

SoftSome

蓝咖啡豆 发表于 2013-1-13 16:32
唉，又有人吭声了，但没人评论我的，楼主也不见踪影，估计答案不行。

来点娱乐气息，结果并不那么 ...

是啊，就像奥林匹克运动重在参与。很高兴有这么多人参与，查资料问朋友，互相探讨，学习进步。

SoftSome

蓝咖啡豆 发表于 2013-1-13 16:54
如果本题需要数学系求解，像我这样文科同学已失去了参与价值。看重思维技巧才好用得上本帖的名字。不过我也 ...

期待大师现身！

蓝咖啡豆

朋友们不响应，可能真正感兴趣，或是愿意试一下的不多啊！没有昨天那一分鼓励，我难埋头再想几步。楼主评点太少，想问一下楼主有绝对信心拥有正确答案吗？你的答案能让人拍案欣喜吗？大师需要点评所有前人的有意义解答

SoftSome

蓝咖啡豆 发表于 2013-1-13 21:17
朋友们不响应，可能真正感兴趣，或是愿意试一下的不多啊！没有昨天那一分鼓励，我难埋头再想几步。楼主评点 ...

还有可能是他（她）们正在努力解题中。。。

oceans

1/6

average 20/24--------20/24 divided by five=4/24=1/6

linyeliu

donotgo 发表于 2013-1-13 16:37
不懂这一行什么意思。。。

是说24盒的每一盒出现至少5个坏表的个数？可是24个盒子是无差别的啊。。。

你我算的0.00083074 应该是某一盒（就是你同学说的specific box)至少5个的概率。设第一盒出现至少5个的事件为E1（不管其他盒子有几个坏表）， 第二盒为E2，。。。P(E1)=P(E2)=...=P(E24)=.00083074.
题目求任一盒，就是求P（E1U E2 U E3... U E24), 根据概率学的一个推论，等于各个事件单独发生之和-所有2个事件并集之和+所有3个事件并集之和。。。。即
P（E1U E2 U E3... U E24)=ΣP(Ei)-ΣP（EiEj)+ΣP（EiEjEk)-ΣP(EiEjEkEl)
i=1,2,...24, l>k>j>i
其中ΣP（Ei）=P(E1)+P(E2)+ ...+P(E24)=24*0.00083074=0.0199378, 后面3项计算太繁琐了，我估计最终结果应在0.0196左右。

SoftSome

看来这道题有必要让中学老师，大学老师，数学博士，数学教授们来解一下啦。
有渠道有联系的联系联系。群策群力，众人拾柴火焰高嘛！

SoftSome

blackbut 发表于 2013-1-2 22:59
576个位子随机放共有576选20的组合，4.75799E+36。

分步放表：

考察一下98楼blackbut的分步放表法。
如果有40块次品表呢？按照此法：

576个位子随机放共有576选40的组合，8.00245038E+61。

分步放表：
一、选1盒子放入5个表，24选1，有24种可能。
二、选中的盒子选5个位子，24选5，有42504种可能。
三、剩下的571个位子随机放入35个表，571选35，数字太大，1.0141041E+56种放法。
四、以上连乘得 1.0344835361E+62

以上四所得除以组合总数得1.2927，大于1. 概率怎么会大于1呢？此方法有问题！

blackbut

SoftSome 发表于 2013-1-18 06:57
考察一下98楼blackbut的分步放表法。
如果有40块次品表呢？按照此法：

这个解法是不对，有重复计算。所以概率应该小的多。我想不出简单的办法去除重复。只有用穷举法，或者计算机模拟。

oscarii

这个问题可以换成这样的数学模型：
24个>=0的整数，相加等于20，其中有一个数大于等于5的可能有多少

蓝咖啡豆

如果为了把概率由3%演变为120%来说明问题，而把20坏表变40坏表，可见搂主是很用心的。其间变量只有由20到16的连乘变为40到36的连乘， 约2.1^5, 40几倍。看来重复分布的解释远远不如里量化直接给力的效果。但40块表已超过一盒数量，演算肯定不会同一模式了。

Linyeliu TX已经在任意事件加法法则走得很远了。我只是估计，互补法则（小于5块的组合）可能有捷径。等能人出来前，有人能说出每盒一块坏表的概率怎么算吗？这样互补法则就有解了。

SoftSome

蓝咖啡豆 发表于 2013-1-18 10:32
如果为了把概率由3%演变为120%来说明问题，而把20坏表变40坏表，可见搂主是很用心的。其间变量只有由20到16 ...

"等能人出来前，有人能说出每盒一块坏表的概率怎么算吗？这样互补法则就有解了。"

如果你指20块次品表放入24个盒子中，每盒最多一块次品表的概率，是否可以这样算：

分母：每一块次品表可以放入24个盒子中任何一盒，有24个放法，重复20次，是24^20.
分子：先选出20个盒子，有 C(24,20)种，然后第一块次品表有20个盒子可选，第二块次品表有19个盒子可选，第三块次品表有18个盒子可选，。。。，所以一共有C(24,20)×20！种放法。

概率=C(24,20)×20！/24^20 约等于 0.00000643086798.

fishee3

在所有盒子一样和所有表都一样（好的和好的一样，坏的和坏的一样）的前提下，结果是231／637＝0.37
俺老公算的。不晓得对不。

SoftSome

fishee3 发表于 2013-1-19 13:28
在所有盒子一样和所有表都一样（好的和好的一样，坏的和坏的一样）的前提下，结果是231／637＝0.37
俺老公 ...

算的是哪一个概率？怎么算的？

fishee3

假设所有表和所有盒子都一样，那么总共只有p(20)=627种方法，这是20个整数的分拆个数。
20＝1＋1＋...+1
20=2+1+1....+1
......
20=20
每个20的整数分拆对应一种坏表的分配
有20个盒子，每个里面有一个坏表
有19个盒子，其中有一个有两块坏表，剩下18个只有一块坏表
。。。
只有一个盒子有20块坏表

考虑一个盒子里面有至少5块坏表的分配，也就是说这个分拆里面有一个数字必须大于等于5.直接算不好算，但是考虑到把这5块坏表（坏表之间不分彼此）绑在一起为一个大的坏表，那么现在总共还有16个个体，然后我们要把16个个体分配到盒子里面去，共有p(16)=231种方案。

所以我的答案是：p(16)/p(20)=231/627=0.37=37%

注1：这里的假设是所有的盒子不分彼此，所有的好（坏）表不分彼此。
所以，和24还有576完全没有关系，因为只要把坏表放好了，好表放到剩下的地方就可以了，24,相对于20块坏表，是个大数，意味着所有坏表可以任意放。把这个24换成25,100或者2013,答案都是一样的。

jenny1999

从24个盒子里选一个，从20个坏表中选一个放进去，在从剩下的19个选一个放进去，再从剩下的18个中选一个放进去，共5次。得到1/24/20/19/18/17/16=0.00000002239.