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本帖最后由 y12345678 于 2017-5-29 06:59 编辑
首先说明，这个问题不适合放到小学教育板块。放到大学差不多
恭喜您，多好的孩子，问的正是康托尔（Cantor）一百多年前试图回答的问题
（中文语境下，一般的术语多是用的“无穷”，因为“限”这个字多用来描述“极限”的这样的数学概念。但这里这里本帖作者，采用日常生活的说法，不区别“无穷”和“无限”两个词）
什么是无穷，如何比较无穷？我们也许永远都无法回答，但您孩子的问题无穷问题认识的一个革命性的起点，
也就是说：那么对于无穷而言，有两个有无穷成员（元素）的集合，他们之间如何比较大小？
对此康托尔的意见是无穷集合之间的比较，可以基于一一对应的关系。
并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势（Equinumerosity），用通俗的语言来说就是“一样大”。
这个道理说起来很玄妙，其实我们很小就潜移默化的学习了，而且生活中几乎每天都在应用。
那就是数数的概念，所谓数数，就是建立遍历对象集合的所有成员，并与自然数之间一一对应关系的一种方法。
也就是说有两个无穷集合A={a1,a2,a3.....}与B={b1,b2,b3...}
我们试图建立两者成员（元素）间一一对应的关系，如果无论怎样，A中间总有这样的成员，B中无法对应。
那么我们就可以认为A比B大。
反之，如果A中间所有的成员，B中都可以用且只用一个成员与之对应。我们就可以说两者“一样大”
回到您儿子的问题：“那0和1之间的数字个数跟0到2之间的数字个数一样多吗？”
集合A={0~1之间的数字（不包括0和1）}
集合B={1~2之间的数字（不包括1和2）}
假设您的孩子讨论是基于实数集合的，如何建立一一对应呢？
很简单，对于任何元素a∈A，只要另b=a+1，则必有b∈B啦
这样a~b，就建立了A、B元素一一对应的关系。所以可以说他们一样大
“听不懂，说人话。”
好吧，您想在0~1之间随便拿出一个数字，给它加上1是不是就变成了1~2之间的一个数字啦？
反过来也类似。1~2之间的一个数字只要减1，就变成了0~1之间的一个数字啦。
一个对一个，和踢足球人盯人一样。
所以可以说两个里面的数字一样多啦。
“那0和1之间的数字，和0和2之间的谁更多？”
如何数这个数呢？
对于任何元素a∈A，只要令b=2a，则必有b∈B啦
所以可以说他们一样大
“说人话”
晕，和前面差不多的啦。
在0~1之间随便拿出一个数字，给它乘以2是不是就变成了0~2之间的一个数字呢？
反过来也类似。0~2之间的一个数字只要除以2，就变成了0~1之间的一个数字啦。
还是人盯人，数字一样多啦。
什么？！我没听错吧，你上面的例子岂不是说说整体和部分一样大啦（两个无穷加起来和一个无穷大同样大）！这可能吗，为什么？
整体比部分大，乃是有穷世界中通过归纳方法得出的一般性结论。但是放在无穷世界中不能这样简单的类比了。
“还是哪里不对头，回到A=(0~1)和B=(0~2)这个例子。把后者当做整体，前者就是整体一部分喽”
so what?
我还想把你的钱包当成部分，我钱包当整体呢。
“你别胡扯，好好说。我们考虑这样一种一一对应的方法，把A=(0~1)和B在这一段的数字建立一一对应。那么B剩下[1,2)的部分就没人对应了。按你前面说的，B比A大！”
小样！哪有那么简单，仔细看前面介绍中红色的字。
。。。。如果无论怎样，A中间总有这样的成员，B中无法对应。
那么我们就可以认为A比B大。
反之，如果A中间所有的成员，B中都可以用且只用一个成员与之对应。我们就可以说两者“一样大”
你提出来一种匹配方法，没法让两个集合一一对应，这个没错。
但是我说的是如果无论怎样匹配，都不能一一对应，才能说两者不一样大。但凡有一种匹配方法，可以做到一一对应，我就满足任务了。
所以你要证明A和B两个无穷集合不一样大，你需要证明一一对应在逻辑上的不可能性。而不是像你说的那样，拿出一种具体的不能一一对应的匹对方式。
齐活~~
相信您的孩子不会满意，可能会稍微推广一下，接着问：“既然无穷集合可以比较大小，那么是不是有一个最小的数的无穷集合呢？”
答案是有的，比如说{正整数}集合，也就是{1,2,3,4.....}
当然，还有还有很多，但他们都是和上面这个集合等势的，比如说{大于10的正整数}，{自然数}，{有理数}等等。
理论上用数数的方法都可以数清楚，所以这些都可以叫做“可数集”。
“为什么自然数集合和正整数集合一样大（等势）？不会吧，如何建立一一对应？”
A={自然数}，B={正整数}
还是人盯人的老道理，我是用下面的方法盯人的（建立一一对应的）
A中的元素---- 1, 2, 3, 4, 5,.., n ,....
B中的元素---- 0, -1, 1, -2, 2,.., b ,....
就是说对于任何一个A中的元素n而言，总有一个B中的元素b
b=(-1)^n*(n/2-1/2) if n= 奇数
或者 b=(-1)^n*(n/2) if n= 偶数
这样就构成了两者一一对应的关系。
当然，肯定还有其他方法对应的。这个只不过我想到的最简单的一种。
“好吧，我承有自然数集合和正整数集合一样大。但是他们怎么可能和有理数一样大呢？有理数不是比正整数多得多吗？怎么能数的过来？人盯人？我想不通怎么个盯法”
问题真多！看好了，我来帮你盯
基本思路是所有的有理数都可以表达成分数的形式，所以只要给所有可能的分数按一定顺序标号。这样就可以了
怎么标号呢？看下面的这个图，从左上角的1开始，按箭头向下标号，每过一个箭头加一个数字。
这样，所有可能的分数都能在这个表中找到，而且也肯定有一个标号。这样分数（有理数）就和正整数一一对应了。
“那么那么有比{正整数}大的数集吗？举个例子”
{实数}，注意实数集包括无理数。这个真不可数。可以说比正整数集合大。
您可以近似的理解为，无理数比有理数虽然都是无穷多，但是无理数比有理数多太多了。
“这样啊，怎么证明？”
晕，我数学不太好。
您自己研究一下吧
“有没有比{实数}更大的集合”
我当初上数学课老缺课，所以一直没有确定。但是我的印象中是有的。
看，小朋友该知道用心上课的好处了吧
“好吧好吧，问点简单的。那么有没有什么数的集合比{正整数}大，比{实数}小呢”
饿，Orz
您孩子太厉害了。这么难的问题都问的出来。最少和康托尔一样强
这个叫做康托尔同学认为没有，但是找不到证据，所以他将至称之为连续统假设（Continuum hypothesis）。这是个赫赫有名的重要数学、逻辑学，甚至哲学问题。
后来的大数学家、哲学家希尔伯特，很有八卦精神（笔误，是疑问精神），总结了23个了不起的数学问题，这个排名第一。就跟《择天记》里的百晓生写的“青云榜”有点像，这个就是当时的“天下第一问题”。
只要是能提出这样问题的人，就是大大的了不起了。就跟希尔伯特和百晓生是一个等量级的任务啦。
看，您的儿子和他们一样了不起。
回到问题，目前的答案是：也许有，也许没有。因为两种情况下，逻辑都是自洽的。所以目前已知的认识是，不能证明或证否。（什么见鬼的答案，还不如不说的好）
也许您儿子将来能做出超越前人的贡献，也未可知。
“那么回到标题的问题，无限（无穷）有大小吗？”
我不写了，太累，网上抄几句。。。
（康托尔的研究）揭示了无穷是分等级和有不同大小的。。。。这个说法upset了当时很多数学家，法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把（康托的）集合论当作一种疾病”。
还有康托尔以前的老师--克罗内克。克罗内克把康托尔的工作看作一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院，便热烈地致力于他所认为的数学真理，用他能够抓到的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士，那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。
最后这一段不用给孩子讲了，省的他对学习数学和对待老师犯心病。
“谢谢，那么请问a/b/c/d/f/g.....”
见鬼，这么难得问题谁知道。
但是您可以故作严肃，把脸板起来。给他说：
“你懂得思考，这很好很好，要记住一点。所谓说《学而不思则罔，思而不学则殆》。像你这样光瞎想，不认真学习别人研究的情况是很危险的。所以为了你长久的发展，我建议小朋友应该自己找到相应的资料，并认真的学习”
世界于是回复正常了。。。。
您的世界回复清净了，顺便给我加点分行不行。
要知道打字很辛苦，让数学不好的人回答这样的问题更辛苦。 |
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楼主:绿茵之谷
发表于 2017-5-28 15:48
