AMCJunior最后一题怎么做？

piazzolla

itisperfect

1/3 的divisible , 2/3 不行。 算上前几个后几个数字？

Amy_XY

digit not divisible by 3, 去掉了3，6，9, 0

剩下1，2，4，5，7，8 组成4位数，按照divisible rule找出组合，每个组合里排列

我觉得思路就是这样….答案是204个吗？

不是小胖子

Amy_XY 发表于 2024-11-20 09:27
digit not divisible by 3, 去掉了3，6，9, 0

剩下1，2，4，5，7，8 组成4位数，按照divisible rule找出组 ...

接着你的思路继续：

将1，2，4，5，7，8分为A，B两组（如果没有余数（mod）概念可以顺便学一下）：
A = {1，4，7}  【1（mod 3）】
B = {2，5，8}  【2（mod 3）】
这时，可以把Donna的选择变成“拿4个1或2，加起来不能是3的倍数”。
很容易发现4个数字唯一不能选择的情况是每组两个，所以可选择的共10种情况：
AAAA，ABBB，BABB，BBAB，BBBA（AB互换5种略）

每个数字都有3种选择，总数 = 10 * 3^4 = 810 种

Amy_XY

哦哦，我忘记了，数字可以重复使用，所以204是不够的，只考虑了数字不重复的情况

piazzolla

Amy_XY 发表于 2024-11-20 09:27
digit not divisible by 3, 去掉了3，6，9, 0

剩下1，2，4，5，7，8 组成4位数，按照divisible rule找出组 ...

忘记附上答案了：810

piazzolla

Amy_XY 发表于 2024-11-20 09:27
digit not divisible by 3, 去掉了3，6，9, 0

剩下1，2，4，5，7，8 组成4位数，按照divisible rule找出组 ...

0为什么能被3整除呢？

piazzolla

不是小胖子 发表于 2024-11-20 10:27
接着你的思路继续：

将1，2，4，5，7，8分为A，B两组（如果没有余数（mod）概念可以顺便学一下）：

看着很厉害，就是看不懂

不是小胖子

piazzolla 发表于 2024-11-20 11:19
看着很厉害，就是看不懂

将1，2，4，5，7，8分为A，B两组：
A = {1，4，7}  【1（mod 3）】
B = {2，5，8}  【2（mod 3）】
这时，可以把Donna的选择变成“拿4个1或2，加起来不能是3的倍数”。
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为什么要怎么分？因为对Donna来说，1，4，7是一样的（258同理）。
例：如果100+1不能被3整除，那么100+4也不能。
因为3能被3整除，100+1不能被3整除，所以100+4=100+1+3不能被3整除。
【一个可以被3整除的数加上一个不能被3整除的数肯定不能被3整除】。
同理，100+7=100+1+3+3，所以100+7也不能。
所以对Donna来说，1，4，7没有区别，当然100，1000，88888...也都没区别，只是因为1最容易计算，所以我们把A里面的数字都看成1。
同理，我们把B里面的数字都看成2。
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再换个例子，比如我们要计算28+53能不能被5整除：
因为：28=25+3；53=50+3
所以：（28+53）➗5 = （25+3+50+3）➗5 =（（25+50）+（3+3））➗5 = （75+6）➗5 = 75➗5 + 6➗5
因为：75➗5=15是整数
所以：我们只需要观察6➗5是不是整数即可
即：在这道题目里，从余数的角度来说，28，53和3是一样的。
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如果这样还是不好理解，那么再换个方式，比如我们要计算38+77能不能被10整除。
可以想象我们两个人在路上闲逛，
我带了38元（20元面值纸币+10元面值纸币+5元面值硬币+2元面值硬币+1元面值硬币）
你带了77元（50元面值纸币+20元面值纸币+5元面值硬币+1元面值硬币✖2）
我们看到有一家店卖打折的最新苹果手机，10元一部，这时我们肯定是选择能买多少买多少。我们如果要计算买完还剩多少钱（从现实角度来看，这个时候关心这个有点奇怪。当然，也可能是我们担心钱花完了没法买公交车票回家），我们不需要计算纸币，只需要数数硬币部分就够了（即10的倍数我们都可以无视）。
同理，如果苹果手机的价格是5元，那么我们只需要关心一元两元面值的硬币即可。


很容易发现4个数字唯一不能选择的情况是每组两个，所以可选择的共10种情况：
AAAA，ABBB，BABB，BBAB，BBBA（AB互换5种略）
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在只能选1，2的情况下，只有5种情况：
全是1：1+1+1+1=4 不是3的倍数（1111）
三个1，一个2：1+1+1+2=5 不是3的倍数（1222，2122，2212，2221）
两个1，两个2：1+1+2+2=6 是3的倍数（1122，1212，1221，2112，2121，2211）
一个1，三个2：（略）
全是2：（略）
只有“两个1，两个2”不满足条件


每个数字都有3种选择
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前面的1，2只是我们为了方面计算做的表示。
实际上，任何一个1都可以是1，也可以是4或者7。
同理，任何一个2都可以是2，也可以是5或者8。
即每一个数字，都有3种选择，也只有3种选择。


总数 = 10 * 3^4 = 810 种

PS：看到隔壁楼关于超前学的帖子，在这里感慨一下，比如余数这个东西，从知识点的层面来说，小学就会接触到；但从应用技巧的层面来说，可以打到至少AMO（再高深的没接触过，没有发言权），即只靠“余数”这一个知识点，可以完整的解完AMO中的某些（甚至是偏难的）题目。学高还是学深...这是个问题。