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brooksong 发表于 2014-7-11 12:06 
first_kid or second_kid=1
你并不知道女孩是老大还是老二，所以只能取老大或老二是女孩的总和。
这就是 ...
我觉得原因差不多是语境。具体就是数学模型跟生活语言表达或者生活场景不能完全一一对应。维基百科提到的那篇文献梳理得层次比较清楚。
When truisms clash: Coping with a counterintuitive problem concerning the notorious two-child family, Ruma Falk, Thinking & Reasoning, Vol. 17, Iss. 4, 2011
1. 简化的情况：
1.a. 家庭场景：从人口普查数据中有两个孩子且其中至少一个是男孩的家庭里随机抽取一个家庭。
这个场景下，有三个等概率的事件： BB, BG, GB。
因此，Pr(BB)=1/3。
1.b. 孩子场景：从随机抽取的一个有两个孩子的家庭中随机抽取一个孩子，观察发现这个孩子是男孩。
记这个观察结果为事件b。当这是个BB家庭时，b必然发生，即Pr(b|BB)=1。当这是BG或GB家庭时，b发生或不发生是对称的，即Pr(b|BG)=Pr(b|GB)=1/2。当这是个GG家庭时，b不可能发生，即 Pr(b|GG)=0。
因此，事件b发生的条件下，BB的概率是Pr(BB|b)=(1×1/4)/( 1×1/4 + 1/2×1/4 + 1/2×1/4 + 0×1/4 )=1/2。
2. 引入出生日期之后的情况
2.a. 调整家庭场景： 从人口普查数据中有两个孩子且其中至少一个是男孩且出生在星期二的家庭里随机抽取一个家庭。
这种情况就如11楼所计算的，BB发生的条件概率等于，有两个男孩且至少其中一个出生于星期二的组合数，比去， 有两个孩子且其中一个是男孩且出生在星期二的组合数，等于13/27。
2.b. 调整孩子场景： 从随机抽取的一个有两个孩子的家庭中随机抽取一个孩子，观察发现这个孩子是男孩且出生在星期二。
这个场景下，记选中的孩子是男孩且出生在星期二这一事件为C。选中的孩子是第一个出生或第二个出生的机会是相等的。同时， 选中的孩子出生在一周中任何一天的机会也是相等的。因此，对于BB家庭，C发生的条件概率是Pr(C|BB)=1/2*1/7+ 1/2*1/7=1/7。同样， Pr(C|GB)= Pr(C|BG) =1/2*1/7=1/14，而 Pr(C|GG)=0 。
于是， 事件C发生的条件下，BB的概率是Pr(BB|C)=(1/7×1/4)/( 1/7×1/4 + 1/14×1/4 + 1/14×1/4 + 0×1/4 )=1/2。
3. 一般化条件下的情况
把“出生在星期二”推广为任何一般性的特征S，再考虑这个条件对概率的影响。
3.a. 一般化家庭场景：从人口普查数据中有两个孩子且其中至少一个是男孩且具有特征S的家庭里随机抽取一个家庭。
假定人群中特征S发生的概率是p，有两个孩子的家庭中，其中至少一个是男孩且具有特征S的概率是，1/3×p+1/3×p+1/3×(p+p-p^2)。
因此，Pr(BB|S)=1/3×(2p-p^2)/(1/3×p+1/3×p+1/3×(2p-p^2))=(2-p)/(4-p)。
可以看到，当p趋近于0的时候，Pr(BB|S)的极限就是1/2。
3.b. 一般化孩子场景： 从随机抽取的一个有两个孩子的家庭中随机抽取一个孩子，观察发现这个孩子是男孩且具有特征S。
计算方法跟2.b.类似，应用贝叶斯定理可得，Pr(BB|S)=1/2。
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楼主:SoftSome
发表于 2014-7-11 12:54
