哪一位可以解出这道4U练习题？

LanShen

哪一位可以解出这道4U练习题？

damogao

太简单了吧。

LanShen

damogao 发表于 2023-1-18 08:41
太简单了吧。

是吗？给一个证明好吗？谢谢

damogao

AB.CD=AD.BC这个AB，CD，AD，BC是什么意思？是线段的长度嘛？

damogao

LanShen 发表于 2023-1-18 11:34
是吗？给一个证明好吗？谢谢

第一问是个送分题，只要把题读懂就能做出来。我花了一个草图，发给你孩子看看。第二问我都不懂题目那个等式是什么意思。可能中英文有不同的理解，需要你解释一下。

lianxiang

这是4U的复数问题。x 是点A以及点C的实数部分，

第二问题是求点P，你的答案是对的，因为cos(alfa) 就是 x.

LanShen

damogao 发表于 2023-1-18 19:41
AB.CD=AD.BC这个AB，CD，AD，BC是什么意思？是线段的长度嘛？

AB，CD， 都是复数的矢量，就是A点到B点，这题目从一开始就说明了是一个复数的题目。
第一部分不算难，但是绝对不是送分的题目，可以试试。
第二部分解体方法不是用复数来解答的。
这题目的关键点就是第三部分。

LanShen

damogao 发表于 2023-1-18 19:59
第一问是个送分题，只要把题读懂就能做出来。我花了一个草图，发给你孩子看看。第二问我都不懂题目那个等 ...

此外，你这个作图A和C点没问题，但是B和D为啥就一定是在如此特殊的位置？

mania7

忘记怎么做了 但看照片 20年没咋变啊

LanShen

mania7 发表于 2023-1-18 23:24
忘记怎么做了 但看照片 20年没咋变啊

数学别说20年，中学数学这个部分，70年前的练习和现在也差不多的。

不是小胖子

没学过复数和复平面，不保证正确

i)

∵     AB*CD = AD*BC

∴     (b-a)(d-c) = (d-a)(c-b)

∴     2bd+2ac = (a+c)(b+d)

∵     a = c (不会打上划线)

∴     ac = 1 and a+c = 2x

∴     2bd + 2 = 2x(b+d)

         1+ bd = bx + dx

ii)      借用5楼的图

证明P在实数轴部分略

∵     OE = x and OA = 1

∵     OA*OA = OE*OP

∴     OP = 1/x

iii)

连接BP，假设D不在BP上，

设BP交圆于E，连接AE, CE

∴     AB:AE = CB:CE (1)   (证明略)

∵     AB:AD = CB:CD (2)   (from i))

又∵         AE, CE 不可能同时大于或小于AD, CD

∴ (1)(2)相矛盾

∴ D在BP上，即三点共线

LanShen

不是小胖子 发表于 2023-1-19 04:14
没学过复数和复平面，不保证正确

i)∵     AB*CD = AD*BC∴     (b-a)(d-c) = (d-a)(c-b)∴     2bd+2ac = ...

不是小胖子
非常好，你的第一部分用的就是矢量，完全正确。
第二部分不是这道题目的重点，应该是启发下一部分的题目的，只是你在第三部分使用的平面几何来证明了。现在的NSW已经把平面几何剔除在教学大纲范围以外了。
谢谢

damogao

LanShen 发表于 2023-1-18 22:33
此外，你这个作图A和C点没问题，但是B和D为啥就一定是在如此特殊的位置？ ...

我随手画的B和D，
第一问的解答如下，非常简单的符合直觉的解法。

LanShen

damogao 发表于 2023-1-19 10:11
我随手画的B和D，
第一问的解答如下，非常简单的符合直觉的解法。

你这个随手在数学上属于特殊点，这样的证明毫无意义，考试是没有分的。

damogao

我试了很多方法，算了一晚上算不出共线的结论。
可能我二十多年没接触数学，有一些解法忘了。

更新，证明出来了

damogao

LanShen 发表于 2023-1-19 11:34
你这个随手在数学上属于特殊点，这样的证明毫无意义，考试是没有分的。 ...

我随手点的B和D完全不影响第一问和第二问。
第三问，我试了很多种方法，算不出共线的结论。可能有一些很tricky的技巧我忘了。

假设第三问正确，P在x轴上，那么B和D就是（1，0）和（-1，0)

damogao

damogao 发表于 2023-1-19 13:00
我随手点的B和D完全不影响第一问和第二问。
第三问，我试了很多种方法，算不出共线的结论。可能有一些很t ...

证明出来了。
下面给思路和过程。这个第三问的难度比第一第二问提升了太多

damogao

思路是根据1+bd=(b+d)x得出虚部等于虚部，实部等于实部，等于一些等式。

两个平面向量共线PB/PD比值是个实数（意味着虚部等于0），证明PB/PD的虚部为0即共线。

图片太大就上传一部分吧。

fqtsys

damogao 发表于 2023-1-19 15:06
思路是根据1+bd=(b+d)x得出虚部等于虚部，实部等于实部，等于一些等式。

两个平面向量共线PB/PD比值是个实 ...

你这二十多年没接触数学。。。。。。你展现出的skill和对数学的爱好，让我这种学渣在娃面前抬不起头

不是小胖子

LanShen 发表于 2023-1-19 07:10
不是小胖子
非常好，你的第一部分用的就是矢量，完全正确。
第二部分不是这道题目的重点，应该是启发下一 ...

那我换个方法试试：

LanShen

damogao 发表于 2023-1-19 15:06
思路是根据1+bd=(b+d)x得出虚部等于虚部，实部等于实部，等于一些等式。

两个平面向量共线PB/PD比值是个实 ...

你这个证明第一太复杂了，第二，也没有完成。你得证明最后是一个实数，可是看来看去也没看出结果来。继续努力。

LanShen

不是小胖子 发表于 2023-1-19 17:13
那我换个方法试试：

对了，这个证明正确。

damogao

LanShen 发表于 2023-1-19 17:39
你这个证明第一太复杂了，第二，也没有完成。你得证明最后是一个实数，可是看来看去也没看出结果来。继续 ...

我这个思路简单一些。两个向量平行或者共线的条件是存在一个实数a，V1=a*V2
只要证明V1/V2的虚部为零就行。

hhyfirst

(iii) 共线 <=> (b-1/x)/(d-1/x) is real number<=>(b-1/x)/(d-1/x) = ((b-1/x)/(d-1/x) 的共轭) <=> (b-1/x)/(d-1/x) = (1/b-1/x)/(1/d-1/x)
<=> 1 + bd = bx + dx

damogao

hhyfirst 发表于 2023-1-19 22:18
(iii) 共线  (b-1/x)/(d-1/x) is real number(b-1/x)/(d-1/x) = ((b-1/x)/(d-1/x) 的共轭)  (b-1/x)/(d-1/x ...

这个牛逼。哈哈。25年前我应该会这种“很高级”的解法，但现在只能暴力求解了，哈哈。

总有刁民要害朕

好难，各位很厉害。