又一道中学9-10年级中学数学竞赛题。

shurman

9-10年级的数学竞赛题：

Greenhorse

a 12 b1 c2

shurman

Greenhorse 发表于 2019-5-27 21:50
a 12 b1 c2

对了一半

Greenhorse

shurman 发表于 2019-5-27 22:05
对了一半

12，0，3？ 可是0不是positive number吧

sugarcatty

shurman 发表于 2019-5-27 22:05
对了一半

为啥对了一半呢

sugarcatty

0算正整数吗？
我的数学已经还给老师了

shurman

sugarcatty 发表于 2019-5-27 22:31
为啥对了一半呢

只找到了一个答案。 还有一个没答出来。

sugarcatty

shurman 发表于 2019-5-27 22:35
答案：

高级高级

BreakingBad

shurman 发表于 2019-5-27 22:35
答案：

我目测了一下，13+2+1好像不等于15吧？

sugarcatty

BreakingBad 发表于 2019-5-27 22:37
我目测了一下，13+2+1好像不等于15吧？

你知道的太多了！哈哈哈哈哈哈

pentaur

用公式太麻烦，首先要3、5、7 代进去结果是零，想让他结果变正趋紧540 就得提高a, a 最大13 代进去结果 1000—280=720；然后试12 ： 729 —189=540 就得出 12、1、2 无其他解 因为a越小 结果只能越小

Hetbert

应该是a=12, b=1,c=2

Hetbert

这道题在考察估算。我思路是这样的,这道题的几何意义就是三个立方体体积之和是540.

比如一个金方块，割下两个小金方块，让剩下的体积是540，或者三个金块的总体积是540.

从几何意义就可以想到，如果不限制整数的话，可能会有很多个解甚至无穷多个解。 （比如三个无理数，x≈11.9628, y≈0.518595, z≈2.5186）

但是整数解就少多了，这时把整数的立方都写下来备用，就像大厨做菜，按照客人指定的食材备料。

1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000

三个整数的立方和是540,那么开始应用黄金分割率从最接近的343开始估算试探不成功。

观察到－3－5－7=-15，得到重要线索X Y Z不可能都是正的，只可能是一个比343和540更大的立方数减去小立方数。

根据黄金分割率尝试729,发现可行，9 -4 -5同时满足条件。（利用尾数是0，通过9=4+5，9=2+7，9=3＋6可以快速筛选排除）

得出结果a=12, b=1,c=2。

我觉得奥数真的应该与时俱进了。

如果不是限制笔算，允许带计算器用WolframAlpha的话，就是一行代码，5秒钟就得到答案。

{x + y +z= 0, x^3 + y^3 + z^3 = 540}

Hetbert

pentaur 发表于 2019-5-27 22:54
用公式太麻烦，首先要3、5、7 代进去结果是零，想让他结果变正趋紧540 就得提高a, a 最大13 代进去结果 100 ...

我们是两个方向殊途同归哎。

你从大往小推算，我是从小往大推算。

tianlin

let x=a-3, y=b-5, z=c-7
then x+y+z = 0, x^3 + y^3 + z^3 = 540
=> x*y*z = 180
=> {x, y, z} = {-4, -5, 9}
=>a=12, b=0, c=3 or a=12, b=1, c=2

Hetbert

Angelp909 发表于 2019-5-29 09:09
See my answer

你这答案不对哎。

题目说a b c三个正整数，你得出的四个结果没有一个是三个正整数。

shurman

一个奥数题，引来一堆成年数学高手。有谁拿给娃做了？

G__

我笨，穷举，c不小于9，b不小于5，a不小于3
的正整数，满足三数之和等于15没多少个

Hetbert

shurman 发表于 2019-5-29 13:43
一个奥数题，引来一堆成年数学高手。有谁拿给娃做了？

楼主你家娃做出来了吗？

我家娃基本就不指望了…

印度娃估计能做出来的可能性更高，我看印度数学课本上有专门学习立方和公式的展开。

jenny69

shurman 发表于 2019-5-29 13:43
一个奥数题，引来一堆成年数学高手。有谁拿给娃做了？

15#是高手，给的是正解。
换元、数形结合、方程和函数、化归，四大数学思想方法。第一就是换元。
穷举法在编程普及化的今天，不如直接敲代码逼格高 不过那就不是数学竞赛，而是信息竞赛了。

hhyfirst

if x+y+z=0, then x^3+y^3+z^3=3xyz
So (a-3)(b-5)(c-7)=180