求解一个复杂的函数表达式

Nixiangzenyang

如图所示，A点是半圆上的一个点，其坐标为（x，y），B点是坐标原点（0，0）到A（x，y）延长线上的一个点，坐标是B（X，Y）。

半圆的圆心（4，0），半径=2

AB之间的距离d是固定的，这里假设d的平方等于2，那距离d就是根号2

现在是要求出当A点沿着半圆运动的时候，画出B点的轨迹，也就是B点在坐标上的函数。

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我现在知道的是A点的轨迹可以由下面的等式（圆的函数）

(x-4)^2 + y^2 = 4

得出：

y=sqrt(8*x - x^2 -12 )

如何结合下面的等式

(X - x)^2 + (Y - y)^2 = 2

求出B点的轨迹函数？


不甚感激！

laoqiu

还有一个关系：Y/X=y/x

一妮

希望足迹可以有人帮到你， 这得学数学专业， 而且还在这行干的人的才行吧

一妮

这个问题解答出来对你有多重要， 不想费这个神啊

财神爷

用2楼的重要提示就能推导出来了。

清墨水

财神爷 发表于 2016-2-13 20:18
用2楼的重要提示就能推导出来了。

这位同学好热心，虽然我不懂数学不知道你做得对不对

芒果飘香

财神爷 发表于 2016-2-13 20:18
用2楼的重要提示就能推导出来了。

第二步不对，你要开根号才行。
sqart (x^2+y^2) + sqart d = sqart (X^2+Y^2)

财神爷

芒果飘香 发表于 2016-2-13 20:40
第二步不对，你要开根号才行。
sqart (x^2+y^2) + sqart d = sqart (X^2+Y^2)

对对，这个地方我忽略了哈 ，谢谢指出。我去更新一下

stmimi

学习了。

jw222

同学为啥问这个,作业吗?
可不能作弊.

你的思路一开始就不对.
这个应该用所谓的parametric equation来做的.

有分加不?
有就继续,但不担保是对的.

keysersoze

心算有点困难。

财神爷

jw222 发表于 2016-2-13 20:58
同学为啥问这个,作业吗?
可不能作弊.

赞同。

Nixiangzenyang

谢谢回头给各位加分:)

y12345678

用极坐标解体很方便：
A点轨迹
笛卡尔坐标系(x,y)：        (x-4)^2+y^2=2^2
极坐标系(r, θ)：  r^2-2r*4cos(θ-0)+4^2=2^2    ===> 化简后 r^2-8r cosθ + 12=0

B点轨迹(ρ, θ)，其中ρ=r+d，或者r=ρ-d
所以B的轨迹方程是
(ρ-d)^2 - 8*(ρ-d)*cos(θ)+12=0

这个就完了，如果有笛卡尔坐标洁癖的话，再转回去就好了

小白猪猪

哈哈，没想到十几年前学的还没忘掉。

芒果飘香

y12345678 发表于 2016-2-13 21:33
用极坐标解体很方便：
A点轨迹
笛卡尔坐标系(x,y)：        (x-4)^2+y^2=2^2

你这个解题思路里面错误的地方就是
你解题用了x=cos(θ)+4 那么A点的极坐标 (r, θ)  的原点在圆心处。

而B点的极坐标(ρ, θ)的原点如果在圆心处，那么ρ=r+d 是不成立的
那么如果B点的极坐标(ρ, θ)的原点在题目给出的位置，那么角度不能用 θ， 必须先转换角度。

小白猪猪

楼主记得给我加20分啊
这是国内高二难度的题目。

keysersoze

楼上应该正解，x和y分别有表达式。

gyxyxgu

感觉是天书似的

y12345678

芒果飘香 发表于 2016-2-13 18:47
你这个解题思路里面错误的地方就是
你解题用了x=cos(θ)+4 那么A点的极坐标 (r, θ)  的原点在圆心处。
...

估计是你没有看清楚

x=cos(θ)+4
这个是什么？我解题和这个八竿子打不着啊


我用的是极坐标下的圆的方程



带入之后，就得到了前面的方程了

小白猪猪

y12345678 发表于 2016-2-13 22:01
估计是你没有看清楚

x=cos(θ)+4

不如 (y-y0)^2+(x-x0)^2=r^2好记。

y12345678

小白猪猪 发表于 2016-2-13 19:05
不如 (y-y0)^2+(x-x0)^2=r^2好记。

是啊，不过圆心在原点的就方便了
r=a

metou

足迹能人多

芒果飘香

y12345678 发表于 2016-2-13 22:01
估计是你没有看清楚

x=cos(θ)+4

你这个表达式(ρ-d)^2 - 8*(ρ-d)*cos(θ)+12=0转换回直角坐标，除了ρ 还有三角函数 θ 要转换， 比五楼的还复杂，也还是一个隐函数。

yzh1999

楼上各个答案，( 2+sqrt(2), 0 ）和 ( 6+sqrt(2), 0 )代入验算似乎都不对

yzh1999

另外题目里(X - x)^2 + (Y - y)^2 = 2这个方程没有限制B是在A的延长线上

芒果飘香

yzh1999 发表于 2016-2-13 22:16
另外题目里(X - x)^2 + (Y - y)^2 = 2这个方程没有限制B是在A的延长线上

对的，可以在AB 线上 A点两端的任何一端。

芒果飘香

楼主把原题贴出来好了，英文的也行。

小白猪猪

yzh1999 发表于 2016-2-13 22:14
楼上各个答案，( 2+sqrt(2), 0 ）和 ( 6+sqrt(2), 0 )代入验算似乎都不对

哥们。。。结果都告诉你了。你验算一下。。。

小白猪猪

yzh1999 发表于 2016-2-13 22:14
楼上各个答案，( 2+sqrt(2), 0 ）和 ( 6+sqrt(2), 0 )代入验算似乎都不对

哥们，看我最新的回帖，结果告诉你了。你再验算一下。。。