2024年AMC 7年级的题目求助

piazzolla

用6根火柴棒组成一个6边形，然后每次都向外扩张一个，问：
假如手里有2024根火柴棒，最后会剩下几根？
我自己数了一下图里的根数，数据如下，但我找不出其中的规律：
第一次：1个六边形 | 6根火柴棍
第二次： 7 | 30
第三次： 19 | 72
第四次： 37 | 132

再补充一个不成熟的想法：
我假设每个六边形都不粘连，那样的话，所需要的火柴棍减掉重合的部分就是按图中拼法所需要的数量，那这个数据是：
42-12=30
114-42=72
222-90=132

act_nan

可以这么做，但是很难找到规律（下一个图形有多少边重复）

我是这么做的：按边的形状分3类，-/\，每一类总数一样。
第一个图形：3*2
第二个图形：3*(3+4+3)
第三个图形：3*(4+5+6+5+4)
...
第n个图形：3*((n+1)+(n+2)+...+(2n-1)+2n+(2n-1)+...+(n+2)+(n+1)) = 3*2*(n+(n+1)+(n+2)+...+(2n-1)) = 3*n*(3n-1)

ps: 感谢下面kui3000帮我补充了内容，我再多说一下最后n的情况——
我把大括号里面的2n拆成n+n，这样变成n连加到2n-1再从2n-1加回到n，一共2n项。这是为了便于计算，用类似1+2+3+…+100的方法得到最后的答案。

piazzolla

还有就是每一次所需要的火柴棍的数量都是6的倍数，但是要符合图形的扩张特点，这个倍数应该也有其规律，我目前找到的四次的规律是
1个6， 5个6， 12个6，22个6，下一个会是几个6呢？

mickey_shao

答案是44吗？

不是小胖子

1、我们先观察六边形的变化规律，这个比较简单，略。如果不考虑重复计算的问题，火柴的数量是六边形的6倍。

2、考虑到有些火柴用了一次，有些火柴用了两次，而无论是知道使用一次的火柴数量，还是使用两次的火柴数量，都足以让我们得出最终结果，所以我们现在需要思考的问题是：我们是数用了一次的火柴，还是数用了两次的火柴？显然只使用一次的更容易数，因为它们只出现在边上。数的时候观察变化规律（具体计算过程略）：


当然，如果我们能发现进一步的规律，我们可以只数其中的六分之一：


3、我们找到规律之后，就是做数字的尝试了，这里是培养数感的好机会。比如：第一次尝试第10个图，发现需要800根火柴（瞎说的，非答案），下一次尝试应该选第几个图比较合适？图12？图15？图20？（考虑到一般7年级的进度，这里省略数列通项公式的方法）

piazzolla

不是小胖子 发表于 2024-11-13 14:12
1、我们先观察六边形的变化规律，这个比较简单，略。如果不考虑重复计算的问题，火柴的数量是六边形的6倍。 ...

怎么一股ai文风啊

ekong

边角分开看，关注在新增的角和边上，就能得出规律。

紫萱

这次7年级的amc也就这道题难点 有点数学题的意思
最后那题看着就是thinking skills题

piazzolla

最新推得的一个试子：
假设从给6根开始，先搭了一个六边形
然后要扩张一圈，需要再给24根
然后再扩张一圈，需要再给42根，
然后再扩张一圈，需要再给60根，
这个可以找到规律，每次给的是6+8n（n是扩张的次数）
那这个问题就是24+42+60+。。。。。。=2024余几？

kui3000

2楼递推是对的，4楼答案是对的

piazzolla

kui3000 发表于 2024-11-13 15:22
2楼递推是对的，4楼答案是对的

2楼的推导看不懂，能给讲讲吗

piazzolla

act_nan 发表于 2024-11-13 13:18
可以这么做，但是很难找到规律（下一个图形有多少边重复）

我是这么做的：按边的形状分3类，-/\，每一类总 ...

能再多讲一些思路吗，这些数字代表了什么？

kui3000

piazzolla 发表于 2024-11-13 15:26
2楼的推导看不懂，能给讲讲吗

所有火柴分为三个方向， 水平--， 左斜 /，右斜 \, 每种数量相等，因为对称。

所以你只算水平的数量，乘以3即可。

水平火柴的数量，你从左向右看，数出每一列。比如，第二个图有3列, 就是3+4+3，第三个图有5列, 就是4+5+6+5+4。

剩下的推导就要求等差数列的基础了。如果你是这里没理解，那就要补一下等差数列的知识了。

管閒事的路人

act_nan 发表于 2024-11-13 13:18
可以这么做，但是很难找到规律（下一个图形有多少边重复）

我是这么做的：按边的形状分3类，-/\，每一类总 ...

也可以這樣數
六邊形數=1+6+12+18..=1+6（1+2+..）= 1+3n(n-1)

外周長=12-6n

除外周邊，所有邊都在兩個六邊形上

所以總邊數=（6*六角形數-外周長）/2+外周長 = 9n^2-3n

不是小胖子

piazzolla 发表于 2024-11-13 14:25
怎么一股ai文风啊

篇幅很长且最后没有答案是吧？

mickey_shao

kui3000 发表于 2024-11-13 15:40
所有火柴分为三个方向， 水平--， 左斜 /，右斜 \, 每种数量相等，因为对称。

所以你只算水平的数量，乘 ...

有意思的题目，我用的方法和你不同，不过观察到的火柴棒递增规律是一样的，我最后简化计算成计算出3n^2+5n-672=0的正数解取临近整数值，这就是扩张的层数，然后再算出一共需要1980根火柴。这样就剩下44根。

kui3000

mickey_shao 发表于 2024-11-14 09:43
有意思的题目，我用的方法和你不同，不过观察到的火柴棒递增规律是一样的，我最后简化计算成计算出3n^2+5 ...

那个方法不是我的原创

我是帮楼主解释了一下2楼的解法

我自己用的是14楼的解法，得到了同样的递推式。

不过我觉得2楼的方法更好。

hhyfirst

简单暴力的考虑通用结论，所有类似平面拼图，边数f(n)=A*n^2+B*n+C，从前三项得到方程组算出A,B,C。
温和一些的，考虑点数更容易统计：

Horric

高手在民間