7年级数学求助，完全没头绪

piazzolla

有一串数字，总共12个。
第一个数字是1，最后一个数字是12。
其余的数字都是它们左右相邻数字的平均值再加1。
问：这串数字里，最大的数字是几？

答案：37
求思路

swe

这12个数字为：1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,25,12

其中，最大值是 37。

GPT大骗子

管閒事的路人

{x_i| i =1,2,...,12} 滿足
x_1 = 1,
x_12 = 12,
x_(i+1) = [x_i + x_(i+2)]/2 + 1
第三條式子倒一倒變成
x_(i+2) = -x_i + 2_(x+1) -2
然後就可以

1） 簡單粗暴法，設x_2=a一個一個推:
1
a
-3+2a
-8+3a
-15+4a
-24+5a
-35+6a
-48+7a
-63+8a
-80+9a
-99+10a
-120+11a

得a = 12，然後代進去。

2）高端法。這種遞歸可以解， 得 x_n = -n^2 +14n - 12 = -(n-7)^2 + 37。

youngf

swe 发表于 2024-11-3 21:05
这12个数字为：1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,25,12

其中，最大值是 37。

这个 5 是咋算出来的？

管閒事的路人

youngf 发表于 2024-11-3 21:34
这个 5 是咋算出来的？

“GPT大骗子”

s4048987

swe 发表于 2024-11-3 20:05
这12个数字为：1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,25,12

其中，最大值是 37。

其余的数字都是它们左右相邻数字的平均值再加1

33+25=58

58/2=29

29+1=30

“33，37，25”

这37怎么出来的？

原题的英文是什么，可以贴上来吗？

518may

1 12 19 28 33 36 37 36 33 28 21 12

管閒事的路人

518may 发表于 2024-11-3 21:52
1 12 19 28 33 36 37 36 33 28 21 12

錯了，應該是：
1
12
21
28
33
36
37
36
33
28
21
12

518may

是，第三个笔误了，是21

youngf

这个题我觉得还挺难的，最终也没能“算”出来。

我猜题目额外的条件是 1）整数范围； 2）12个数字无重复。

我是这么想的：

1. 求的是： 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _12 中最大的，也可以全填好，选出最大那个
2. 根据题目要求，第二个数 是 (1 + a3) / 2 + 1, 整数范围内，a3得是奇数，所以问题变成了：
    1 _ 奇 _ 奇 _ 奇 _ 奇 _ 奇 12


3. 先看看前四个：
    1 _ 奇 _
    相邻两个空白（也就是偶数位的数字）相加除以2加1是奇数，那么两个空白相加除以2是偶数，也就是说相邻两个空白相加能够被4整除，这里隐含了一个条件：
    和能够被4整除这两个数对4求余，要么同模，要么互补（Eg.一个余1，一个余3），既然Step2中相邻的空白都满足和能够被4整除，那么他们都对4同模，要么全都是互补模式

4. 再看最后4个：
    奇 _ 奇 12
   从上一步能看出，最后一个偶数位是12，模4余0，那么其他的偶数位都是模4余0的，即4的倍数。


我只能推导到这里，然后，第二位从4开始，8， 12 ...... 就一个一个试吧。

看有没有高人能给个标准的解法。

swe

youngf 发表于 2024-11-3 23:04
这个题我觉得还挺难的，最终也没能“算”出来。

我猜题目额外的条件是 1）整数范围； 2）12个数字无重复。 ...

三楼就是正确答案啊

limit-2010

swe 发表于 2024-11-3 23:31
三楼就是正确答案啊

嗯 基本上就是这样了

7年级应该可以introduce pronumeral 了
那么其实仔细一想 其实只需要一个pronumeral

然后根据 given rules 和 rearranged rule
可以算出每一个数的expression
可以硬算每一个 但算几个之后 就可以发现规律了

基本上和3楼一样的方法：

不是小胖子

尽可能以7年级的知识面（思维）来解题：

1、
【...平均值为整数】->
【间隔为1的两数相加为偶数】->
【间隔为1的两数同奇偶】->
【首尾为1（奇），12（偶）】->
【奇数位数字全是奇数，偶数位数字全是偶数】->
【相邻两数不可能相等】->
【最大数不可能连续出现（此时还未证最大数唯一）】->
【...平均值再加1】->
【一个数两边的数不可能都比这个数大】->
【从最大数开始往两边会一直小下去】->
【最大数唯一】。

2、
【相邻两数不可能相等，最大数两边各自单调（越来越小）】->
【12是最大数的唯一可能排列1,2,3,...,11,12经验证不成立】->
【12不是最大数】。

3、
【最大数为其左右相邻数字的平均值再加1，最大数左右数字都比最大数小】->
【最大数左右两数相等，皆为最大数-1】->
【最大数左右两边的数（对称）按距离从近到远分别为：最大数-1，最大数-1-3，最大数-1-3-5，最大数-1-3-5-7...】

4、
【12-1≠（1,3,5,7,9中任意连续数字的和），即使等于，因数量关系也不成立】->
【1，12到最大数的距离差只能是1】->
【1=最大数-1-3-5-7-9-11；12=最大数-1-3-5-7-9】->
【最大数为37】

zouzoukan

求英文原题

piazzolla

管閒事的路人 发表于 2024-11-3 21:31
{x_i| i =1,2,...,12} 滿足
x_1 = 1,
x_12 = 12,

x_2，这个里面的'_"是什么运算？

管閒事的路人

piazzolla 发表于 2024-11-4 08:59
x_2，这个里面的'_"是什么运算？

標簽而已。x_1 是第一個x，x_2 是第二個x，如此類推。

紫萱

这是什么方面的7年级数学？

automationtest

设一个x值就全解完了吧

收藏本尊

我看过小孩11，12年纪的题，读都读不懂，感觉都是高等数学里面的东西了，但比较已经分难度等级了

但真没想到7年纪的数学都这么难了？感觉不大现实

管閒事的路人

@樓主求出處，是不是競賽題或補習班販賣焦慮？

網上有：
“I have a list of twelve numbers where the first number is 1, the last number is 12 and each of the other numbers is one more than the average of its two neighbours. What is the largest number in the list?”
但都沒標明出處。

piazzolla

管閒事的路人 发表于 2024-11-4 09:06
標簽而已。x_1 是第一個x，x_2 是第二個x，如此類推。

嗷，看会了那个笨办法，高级的那个完全看不懂

automationtest

设一个x值就全解完了吧

perseverance

这是不是拔苗助长，刚上初中的孩子，给个高中的数列问题？家长看不懂，指望着孩子能看懂？

perseverance

上面那位奇偶的家长，我真服了，思路能这么曲折，都是解题技巧

perseverance

管閒事的路人 发表于 2024-11-3 21:31
{x_i| i =1,2,...,12} 滿足
x_1 = 1,
x_12 = 12,

你确实是个人才

perseverance

这题肯定不要用7年级的思路来解，就是看你有没有提前学，有没有提前高中的内容，解题技巧练多了，不太好。慢慢发展思维，到了一定年纪，轻而易举，为什么要这么折磨家长，折磨孩子？

piazzolla

perseverance 发表于 2024-11-4 21:46
这题肯定不要用7年级的思路来解，就是看你有没有提前学，有没有提前高中的内容，解题技巧练多了，不太好。 ...

设x，一元一次方程的知识点，7年级学的
就是这道题还牵涉到了找规律，属于这一知识点下的一道难题

管閒事的路人

piazzolla 发表于 2024-11-5 08:50
设x，一元一次方程的知识点，7年级学的
就是这道题还牵涉到了找规律，属于这一知识点下的一道难题 ...

能提供本題出處嗎？讓我們少焦慮一點

piazzolla

管閒事的路人 发表于 2024-11-5 09:23
能提供本題出處嗎？讓我們少焦慮一點

AMC的10多年前的一道7年级的题