数学问题：无限有大小吗

y12345678

小小白虎 发表于 2017-5-29 13:40
我家小朋友问过类似的问题
9点9999×××，9无限循环和10比较，哪个大

给聪明的孩子赞一个

其实还是挺不一样的, 无穷的概念和集合论关系密切,  您孩子问的和极限有关.

关系到的领域不同.

小小白虎

y12345678 发表于 2017-5-29 17:45
给聪明的孩子赞一个

其实还是挺不一样的, 无穷的概念和集合论关系密切,  您孩子问的和极限有关.

谢谢指导，是我搞混了，看到楼上一个同学说了豁然开朗：中文语境下，一般的术语多是用的“无穷”，因为“限”这个字多用来描述“极限”的这样的数学概念。
标题是无限，我就联想到极限去了哦。
不过两者都是微积分和数学分析的基石，小朋友思考一下很有意思

Hetbert

小小白虎 发表于 2017-5-29 18:12
谢谢指导，是我搞混了，看到楼上一个同学说了豁然开朗：中文语境下，一般的术语多是用的“无穷”，因为“ ...

Infinity的定义就是能和自身的子集一一映射。
[yt]UPA3bwVVzGI[/yt]
小朋友这么小就思考这样的问题，有前途。
再大一点就可以思考continuum hypothesis和generalized continuum hypothesis。

y12345678

Hetbert 发表于 2017-5-29 17:36
Infinity的定义就是能和自身的子集一一映射。

小朋友这么小就思考这样的问题，有前途。

这个定义很新颖, 请问有出处吗

个人觉得似乎和我直觉相反,

试举一例

考虑A={实数}和B={自然数}
我们知道B是A的子集,
加上前面的讨论. 我们知道A={实数}是不可数的,
也就是说两者不可能建立一一对应关系
按照您前面的说法, Infinity的定义就是能和自身的子集一一映射
那么A={实数}就不是无穷大的集合


但事实是两者都是无穷大的集合
所以这个定义似乎会引起逻辑矛盾

jga000

如果自身可以和自己的一个(是存在，而不是所有的)真子集一一映射， 是无限集。

Hetbert

y12345678 发表于 2017-5-28 21:29
首先说明，这个问题不适合放到小学教育板块。放到大学差不多

恭喜您，多好的孩子，问的正是康托尔（Cantor ...

补充一点，无限集的势是无穷多的。
Cantor对无限集的定义，可以推导出infinity of infinities。
说人话！就是不存在一个最大的集合.

实际上小朋友搞不懂的是为什么“部分”能和“整体”一样大。

我给孩子这么讲，人有十根手指头，所以十进制是最自然的。电脑只有两根手指头，所以电脑只用二进制。
二进制，只有0和1，但能表示和十进制一样多的数。
任何一个用0和1表示的二进制数，如果把它看作十进制数，也都是存在的，加上那些有其他数字的十进制数，还是和二进制数一样多。

绿茵之谷

难怪康托尔抑郁了，要是没这么多人各种解释，我也要被“无限”的问题想得抑郁了

Hetbert

绿茵之谷 发表于 2017-5-29 22:33
难怪康托尔抑郁了，要是没这么多人各种解释，我也要被“无限”的问题想得抑郁了 ...

康托尔是给出无限数学定义的大犇，被当时的数学牛魔王围攻，心里郁闷。
更主要的原因是，他在进一步思考Continuum hypothesis，钻牛角尖疯了。
他猜想是这个假设是对的，但是证明不出。
过了快80年，后来的数学家才证明出连续统假设是独立于集合论的，不能被证明，或者证伪。
可见康托尔的思想领先了大家一个世纪。

小小白虎

Hetbert 发表于 2017-5-29 19:36
Infinity的定义就是能和自身的子集一一映射。

小朋友这么小就思考这样的问题，有前途。

嗯，有时候确实灵光一现。
这个问题源自于一个简单的除法和乘法：10/3=3.33333循环，3.33333循环*3=9.99999循环。以前和孩子提过乘法和除法是互为逆运算的关系，因此由此一问：10？=9.9999循环

y12345678

小小白虎 发表于 2017-5-30 07:21
嗯，有时候确实灵光一现。
这个问题源自于一个简单的除法和乘法：10/3=3.33333循环，3.33333循环*3=9.999 ...

当然啦

Hetbert

y12345678 发表于 2017-5-30 10:36
当然啦

你给孩子这么讲，这只是数的写法不同。
他们感性认识到那个比1小的数字，是有限位的，不是0.9infinity.

[yt]TINfzxSnnIE[/yt]

ivy_cn

是不是可以这样理解,有范围的两个事物可以比大小，没有范围的应该比几率。

y12345678

jga000 发表于 2017-5-29 19:47
如果自身可以和自己的一个(是存在，而不是所有的)真子集一一映射， 是无限集。  ...

这个论断比较直观,  似乎也是正确的论断
个人不反对

可以作为应该是无穷集的一个相对非本质的性质, 重要性有限
不宜当作定义强调

dows026

无限就是数不清的意思了，反正数不清，怎么会有大小，多少呢

Hetbert

y12345678 发表于 2017-5-30 12:50
这个论断比较直观,  似乎也是正确的论断
个人不反对

是吗？
那你认为数学上应该如何定义无限呢？
无限集更重要更本质的性质是什么？

TIANPINKONG

Hetbert 发表于 2017-5-30 11:26
你给孩子这么讲，这只是数的写法不同。
他们感性认识到那个比1小的数字，是有限位的，不是0.9infinity.

從未懷疑過阿拉伯數字的局限性嗎？也許有些時候它無能

Hsc

1与2之间有多少数字，楼主答无限，即infinite, 然后又有后来的0与1和0与2之间的问题。

中学数学离我很久遠了，不肯定有没有记错，不过1与2之间这个问题的答案应该是indefinite, 不是 infinite 吧。前者的意思是 cannot be defined 即不能確定, 后者infinite是旡限。如果答案是indefinite 便沒有大少之分了。在澳洲上中学上数学课时，许多中国同学一开始都把indefinite相当于旡限的意思，其实在英语上这2个字的意义並不相通。

leslie1207

竟然有这么多人觉得无穷大没有大小之分......

Hetbert

TIANPINKONG 发表于 2017-5-30 23:45
從未懷疑過阿拉伯數字的局限性嗎？也許有些時候它無能

不是吧。。。
要不你这么想。
1-0.9infinity=0.0infinity=0

Hetbert

leslie1207 发表于 2017-5-30 23:52
竟然有这么多人觉得无穷大没有大小之分......

情有可原。
因为英文中的infinity实际上在数学的不同分支的意义不太一样。
代数或者微积分中的infinity，就是本帖中很多人说的无穷大，的确不能比较大小。
但是在集合论中的infinity，摒弃了欧几里德的公理五“整体大于部分”。
以一一映射的方式，通过基数Cardinality, 来比较无穷集的大小。

Hetbert

ivy_cn 发表于 2017-5-30 12:46
是不是可以这样理解,有范围的两个事物可以比大小，没有范围的应该比几率。 ...

那个不叫几率，叫基数，Cardinality.

y12345678

Hetbert 发表于 2017-5-30 15:30
是吗？
那你认为数学上应该如何定义无限呢？
无限集更重要更本质的性质是什么？ ...

看了您的一系列问题，我觉得自己水平有限，的确很难回答清楚。

不管如何，我还是试试吧。
很久没考虑数学问题了，脑子退化
如果答得不妥当或是不和您心意，还请海涵

----是吗？
我觉得是的啊。当然不同的人可以有不同的看法了
我们可以讨论

----那你认为数学上应该如何定义无限呢？
我假设您所说的无限是指数学上的无穷的意思
那么不妨参考数学发展的历史，有很多关于无穷的说明和讨论
但是最简洁最广为人知的就是
“比任何给定的数字都大”
这个或许就是无穷的本质吧


----无限集更重要更本质的性质是什么？
先要说明，什么叫本质
我随便搜索了一下： essence is the property or set of properties that make an entity or substance what it fundamentally is, and which it has by necessity, and without which it loses its identity.
个人的理解，事物的本质应该是固有的、基本的属性，某个事物一旦失去这样的属性就变成其他的事物了。
从哲学美学的角度出发，本质的属性还应该是简明扼要的。
如果某事事物同时具有两个等价属性描述，我们称之为甲和乙。我们用不着不指望他们都是本质，因为他们是有重复嘛。
如果甲远远比乙的描述简明扼要，那么乙可定就不是本质属性啦。因为它没有直指核心嘛


所以我觉得无限集和最本质的性质，顾名思义，难道不是有无穷个元素的集合吗？
简单、直接有直至本质


回到您的命题：如果自身可以和自己的一个(是存在，而不是所有的)真子集一一映射， 是无限集。
我们把它规范成数学语言：集合A如果存在一个真子集B，且两者之间的元素可以一一映射，则A和B都是无穷集合。

您看，在这个命题中，我们涉及到了
1）元素的一一对应，在很多情况下证明两个集合的元素能够一一对应是极其困难的事情。
2）子集的存在性，我们知道数学中的存在性是非常复杂的事情。无论是通过构造法，还是反证法进行证明，往往都是极其困难的。
您的命题是两者的结合，可以想象。复杂性和证明的困难性是两者困难/复杂度的乘积。

我不否认您的命题和无穷集合的常见（或许您觉得庸俗、普通）的定义，有可能是等价的。
但是数学概念的定义，不是应该追求简单，追求直至本心吗？

Hetbert

y12345678 发表于 2017-5-31 00:33
看了您的一系列问题，我觉得自己水平有限，的确很难回答清楚。

不管如何，我还是试试吧。

数学，是抽象思维的工具，是为人类服务的，并没有返璞归真的必然要求，更不需要追求所谓至简质朴的哲学的美。

比如说无穷大，∞，就是一个抽象概念，比任何数都要大，却不是实数。
数，也是一个抽象概念，从自然数到有理数到实数到虚数到p进数，数是随着人类的认识发展不断扩展的概念。
如果把实数看作离原点的距离，实数就能和数轴上的抽象的点一一对应。
比较无限集的大小有什么用呢？
思考下面的问题，如果你在数轴上随机选一个点，这个点是有理数的概率有多大？
有理数有无穷多个，实数也有无穷多个。
那么这个概率有多大？
答案是0. 你在数轴上随机选一点，这一点恰好是有理数的概率是0.

y12345678

Hetbert 发表于 2017-5-31 00:34
数学，是抽象思维的工具，是为人类服务的，并没有返璞归真的必然要求，更不需要追求所谓至简质朴的哲学的 ...

认真的学习了几遍您的回复
您说的第一段之下面的话题
对也好，错也好，以目前人类认识水平无法凭置对错也好，都是比较高深的。
看得出您数学数学素养很深，令人佩服。

不过也许似乎可能，这些和您第一段所说的主题，关系比较遥远吧。您想表达什么样的观点，说明什么样的问题呢？
相信对绝大部分我们这样的吃瓜群众而言，连搞清楚您想说什么，都是一个不小的挑战。

不管怎样，让我们试图总结一下您的意思：
您是不是说，数学的很多问题（尤其是无限/无穷的概念）很复杂，超过了普通人的直观（比如说下面的问题A、B、C、D。。。，你不懂吧），所以定义数学概念（比如和无穷/无限有关的诸概念）的时候应该避简就繁？


从您讨论问题的方式，我也觉得您的思维有些避简就繁的趋向。
这样有可能您说了很多其实是很有道理的东西，累了停下来喝口水休息一下，不小心听到台下人互相小声嘀咕
甲：“他说的好好啊，但是你知道他在说些啥吗。。。？？？”
乙：“what do I know?”
然后两个人冷漠地走开了。。。。。


没有必要把普通人原本很容易就能明白的概念，搞成（或许是等价的，但）绝大多数人都要花很大力气才能明白的说法吧。
针对上面观点的不通看法，也许就是我们分歧的来源吧。

Hetbert

y12345678 发表于 2017-5-31 10:50
认真的学习了几遍您的回复
您说的第一段之下面的话题
对也好，错也好，以目前人类认识水平无法凭置对错也 ...

数学概念抽象的过程实际上是化繁为简的过程。
但这个抽象出概念，很有可能不能被简单的理解。简单易懂当然好，但这不是最重要的，最重要的准确性。
我打个比方，数学的发展就像一层一层盖楼房，任何一个概念都是一块砖，有任何一块砖存在问题，就会影响整栋大楼的建设。
这块砖，是不是好看易用，有没有哲学美，都不是最关键的。

《老子·道德经八十一章》：“信言不美，美言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。圣人不积，既以为人己愈有，既以与人己愈多。
数学的概念就像信言，很可能不美，不能被大多数人欣赏。

俄罗斯的诗人，叶夫根尼·叶夫图申科曾说：
Translation is like a woman. If it is beautiful, it is not faithful. If it is faithful, it is most certainly not beautiful.
如果我们为了数学概念更容易理解，放弃准确性的要求，这就好像翻译，美而不信。

我之前批评你的说法。是因为实际上康托尔是返璞归真之后才给出无限的数学定义。
人们在没有数的概念之前，是用比较，来判断大小的。
几只羊对应几块小石头，具体有几块小石头，他们可能是数不清的。
在有了数的概念之后，以数这个工具，人们能够更好认识世界，但是不能很好的理解无限。
康托尔，返璞归真，以一一映射，让人们能够理解无限的真正意义。
康托尔的思维突破了欧几里德的整体大于局部的桎梏，直至无限的本质，是领先时代近百年的突破，为人类迈出了数学发展的一大步。
我很气愤的是你竟然质疑康托尔的定义不够简单易懂，没有哲学美。

y12345678

Hetbert 发表于 2017-5-31 09:42
数学概念抽象的过程实际上是化繁为简的过程。
但这个抽象出概念，很有可能不能被简单的理解。简单易懂当 ...

您别生气，我理解您的感情倾向
看来您是个热爱数学的人
是个康托尔粉

先强调几点
个人不反对一一映射对认识无限/无穷的重要性
个人不反对整体大于局部的认识算是对于无穷研究的桎梏
个人不反对康托尔为人类迈出了数学发展的一大步
我也接受数学可以很丑陋，我中学大学上数学课、数学考试的时候就明白这个道理了。
您看，我也是康托尔粉。我也同意数学可以很丑陋
我们在很大程度上达到共识啦


下面回到正题：
1）您谈到a。康托尔给出了无限的数学定义；b。康托尔通过一一映射和真子集的方法定义无限集合
不知您有没有康托尔文献的具体引用，出处在哪里呢？我们可以一起粉一下。

2）尽管我也是康拓儿粉，但是即使他在我面前，一定要用一一映射和真子集来当做无限集合的本质来定义无限集合
我也要向他表示：吃力不讨好！既然可以简单明了，何必故弄玄虚呢？
明显有更好的办法去定义嘛，您说呢？

举个例子吧。
假如有一位同学问您，什么是无限集合呢？
您精神一震，心中暗喜：“瞌睡时有人送了个枕头，终于问道我的心上了”
开心地回答道：“嗯，this is a good question。这个要从真子集和一一对应说起。真子集呢就是blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah。一一对应呢，就是blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah blah 。。。咦，怎么没人了？”
这样就不给力了。

cangaru

总结一下：

这是个哲学问题