求助一道因式分解题

林林总总

2X3 + 5X2 -4X -3

谢谢。

youngf

孩子二次方的因式分解会么？

ioioioz

2X^3 + 5X^2 - 4X - 3
= (x-1)(2x+1)(x+3)

zsptss

(X-1)(x+3)(2x+1)

youngf

这个多项式的系数， 2，5，-4，-3，加起来是 0， 所以（x-1）是其中一个因式。那么

2x3 + 5x2 -4x - 3 = (x-1)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b-a)x2 + (c-b)x - c

a=2, (b-a)=5, (c-b)=-4, c=3   ==>  a=2, b=7, c=3.

2x3 + 5x2 -4x - 3 = (x-1)(2x2 + 7x + 3)

再因式分解 (2x2 + 7x + 3)，利用求根公式，(2x2 + 7x + 3) = (2x + 1)(x + 3)

结果
(x-1)  (2x + 1)  (x + 3)

林林总总

youngf 发表于 2023-2-4 21:07
这个多项式的系数， 2，5，-4，3，加起来是 0， 所以（x-1）是其中一个因式。那么

2x3 + 5x2 -4x - 3 = (x ...

请问（x-1）是其中一个因式是怎么出来的？

youngf

林林总总 发表于 2023-2-4 21:32
请问（x-1）是其中一个因式是怎么出来的？

多项式系数和是 0

林林总总

youngf 发表于 2023-2-4 21:37
多项式系数和是 0

请问这是什么定理？

A50

这个可以吗？（x+1)(2x*2+3x-3)

youngf

林林总总 发表于 2023-2-4 21:40
请问这是什么定理？

没啥定理。

令 2X3 + 5X2 -4X -3 = 0， 那么 x=1 时，(多项式系数和）=0， 所以原多项式可以写成 (x-1)(.....)

林林总总

youngf 发表于 2023-2-4 21:44
没啥定理。

令 2X3 + 5X2 -4X -3 = 0， 那么 x=1 时，(多项式系数和）=0， 所以原多项式可以写成 (x-1)( ...

啊，明白了，我想复杂了，再次感谢。
总觉得这类题目要靠凑的，您再试试这道？

4x^3 + 4x^2 - 11x - 6

youngf

林林总总 发表于 2023-2-4 21:46
啊，明白了，我想复杂了，再次感谢。
总觉得这类题目要靠凑的，您再试试这道？

    4x^3 + 4x^2 - 11x - 6

= 4x^3 + 2x^2 + 2x^2 + x - 12x - 6

= 2x^2(2x + 1) + x(2x + 1) - 6(2x + 1)

= (2x + 1) (2x^2 + x - 6)

林林总总

youngf 发表于 2023-2-4 22:01
4x^3 + 4x^2 - 11x - 6

= 4x^3 + 2x^2 + 2x^2 + x - 12x - 6

好像还差一步。

第一步的拆解有啥诀窍么？

youngf

林林总总 发表于 2023-2-4 22:07
好像还差一步。

第一步的拆解有啥诀窍么？

二次多项式因式分解应该好做吧，和上一道题类似， 十字相乘

(2x+1) (2x-3) (x+2)

zhuzhu007

来晚啦，来晚啦。因式分解还是蛮有意思的，多项式乘法的逆运算。只不过跟微积分一样，一个容易，一个就难很多。对于小孩子来说，锻炼抽象思维能力很好的一道题。一般孩子们的解法都是凑出来一个一次式跟二次式相乘的形式，然后再看二次的能否用十字交叉法进一步因式分解。

我相信作为家长，您更想知道的是这玩意儿有没有什么通用的解法，所以才会在8楼问这个是什么定理。其实吧，也不能说完全是没有。这个可以把三次多项式看成一个三次方程。然后应用有理根定理来解决类似的问题。因为它最高次系数是2而不是1，所以不能简单的应用整数根定理啦。具体你看看这个链接吧，看懂了以后让孩子试这几个可能的有理根就行啦。https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86/9393361
如果您孩子能很快领悟，那说明他/她在数学上有天赋，咱作为家长，可以考虑找个好老师，重点培养一下啦

morelander

林林总总 发表于 2023-2-4 21:40
请问这是什么定理？

第一个根可以根据factor theorem得到。如果是维州的话，在12年级的MM课程中有介绍

scott.songgps

f(x) = 2x^3 + 5x^2 -4x - 3
一般来说，如果没有明显的FACTOR ，我们可以赋值给多项式，别如 1，-1，2，-2等
如果得到 f(p) = 0 , 则说明 x-p 是这个多项式的一个因数。
接下来，可以用多项式做被除数，x-p 做除数 ，通过除法运算，得到商 。
再用十字交叉发或求根公式得到 ax^2 + bx + c 的两个因数。
把他们乘起来就完成任务了

general_lee31

scott.songgps 发表于 2023-2-5 10:42
f(x) = 2x^3 + 5x^2 -4x - 3
一般来说，如果没有明显的FACTOR ，我们可以赋值给多项式，别如 1，-1，2，-2 ...

跟着复习一下，做做题觉得特别舒服

林林总总

zhuzhu007 发表于 2023-2-5 00:11
来晚啦，来晚啦。因式分解还是蛮有意思的，多项式乘法的逆运算。只不过跟微积分一样，一个容易，一个就难很 ...

的确，我想知道这类题目有没有什么通用的解法。谢谢你的帮助，孩子没有数学方面的天赋，属于各方面均衡的那种。

zhuzhu007

林林总总 发表于 2023-2-5 12:24
的确，我想知道这类题目有没有什么通用的解法。谢谢你的帮助，孩子没有数学方面的天赋，属于各方面均衡的 ...

客气啦。孩子如果对数学缺乏兴趣，可以给他／她看些故事，比如这种的: https://zhuanlan.zhihu.com/p/413976771

Yueliang123

17#正解。这是维州十年级数学教材，此题涉及的内容在第十章里的10H。

Yueliang123

scott.songgps 发表于 2023-2-5 10:42
f(x) = 2x^3 + 5x^2 -4x - 3
一般来说，如果没有明显的FACTOR ，我们可以赋值给多项式，别如 1，-1，2，-2 ...

17楼讲得太好了，教科书级别。多谢。

speedbird

试根法
https://m.baike.com/wikiid/4134181791915658457

sydnewcomer

我大概以前会做，现在不知道也不想做 扔给老公，他10几秒扔给了我以下：

   2X^3+5X^2-4X-3
= X(2X^2+5X+2)-6X-3
= X(2X+1)(X+2)-6X-3
= (2X+1)(X^2+2X-3)
= (2X+1)(X+3)(X-1)

scott.songgps

Yueliang123 发表于 2023-2-6 09:18
17楼讲得太好了，教科书级别。多谢。

多谢你的美言

KANCHENG2008

2x3-2x+5x2-2x-3=2x(x+1)(x-1)+(5x+3)(x-1)=......

nzman

用长除法最简单

shurman

这个叫余数原理。
对于三次方程，原则上来说是可以用代数发计算出任何一个三次方程的解的，不过那方法太复杂，太难，所有教课书都不会去教这种解法的。
十年级教的方法是余数原理，If F(a) =0, then,  (x-a) will be a factor of F(x).
一般是让学生代入 x= 0, 1, 2, 3, -1,-2, -3.如果没有一个可以得到 F(a)=0的，基本可以放弃这个问题了。
如果是四次方程， 还得这样做两次。每得到一个factor，商的部分degree会降低一次，一直到剩下的变成二次方程。

swe

ChatGPT

The factorization of the polynomial 2X^3 + 5X^2 - 4X - 3 involves finding the product of simpler polynomials that when multiplied together give the original polynomial. This process can be done using a variety of methods, including the rational root theorem, synthetic division, or the polynomial long division method.

Here is one possible factorization of the polynomial using synthetic division:

scss
Copy code
2X^3 + 5X^2 - 4X - 3 = (2X + 1)(X^2 + 3X + 3)
This factorization shows that the polynomial can be expressed as the product of two simpler polynomials, 2X + 1 and X^2 + 3X + 3.