请教两道数学题

rainwater

昨晚女儿问我两道题，结果一道也没做出来

请高手们帮帮忙?

1、7a!+13b!=c!

求a、b、c的各种可能性

2、如图，求a平方+b平方=?

liuliang1958

第一道不知何意。
第二道答案为10。

rainwater

liuliang1958 发表于 2013-5-2 10:51
第一道不知何意。
第二道答案为10。

噢，第一题我没写清楚，“！”就是阶乘
如：a!=a(a-1)(a-2).......*2*1

第二题能给个解法吗?

多谢了！

liuliang1958

简单解法吧：
1、 把a线逆时针转到几乎水平，b线也就随着逆时针转到几乎水平。
2、 a -> 1, b->3
3、 当a,b线水平时，a=1,b=3，则a^2 + b^2 = 1 + 3^2 = 1+9=10。

也可以加辅助线（从ab线的交点垂直于底线）证明，难一些，考试时绝不能去证明，但平时可以玩玩，以便举一返三。

liuliang1958

rainwater 发表于 2013-5-2 11:06
噢，第一题我没写清楚，“！”就是阶乘
如：a!=a(a-1)(a-2).......*2*1

第二道应该就是guess and check 的做法了。

rainwater

liuliang1958 发表于 2013-5-2 11:23
简单解法吧：
1、 把a线逆时针转到几乎水平，b线也就随着逆时针转到几乎水平。
2、 a -> 1, b->3

太佩服了！

又新学了一招。我们上学的时候怎么就没学过这种解法呢?只会想到加辅助线，这个方法简单多了。十分感谢！

rainwater

liuliang1958 发表于 2013-5-2 11:24
第二道应该就是guess and check 的做法了。

是吗?没什么别的好方法吗?一个个check的话，考试的时候不是很费时间?

f18

从顶点作一条垂线，垂线到底的中点为X，那么垂点到左边的角就是1-X,设垂线长度为Y

(1+X)^2+Y^2=b^2

(1-x)^2+Y^2=a^2

x^2+Y^2=4

带入求解1+x^2+y^2+2x+1-2x+x^2+y^2=1+4+4+1=10

不清楚的话，请问我。

rainwater

f18 发表于 2013-5-2 11:40
从顶点作一条垂线，垂线到底的中点为X，那么垂点到左边的角就是1-X,设垂线长度为Y

(1+X)^2+Y^2=b^2

看懂了，多谢了！

这个方法真好！

能帮忙看看第一题有什么好方法解吗?

milestone2011

这是几年级的数学,
简直是外星语....


夺门而出.....

gaogoss

第二题我提供个简单的办法，如果是中学生的话，可以用余弦定理做，a^2=2^2+1^2-2*2*1*角的余弦；b^2=2^2+1^2-2*2*1*（180-角）的余弦，两式相加，a^2+b^2=10.

dabaobiao

第一题：

7a! + 13b! = c!
显然 c > a 且 c > b

(1)        a=b
7a! + 13b! = 20a! = c!
c!=20a! , 两边同除以a!
(a+1)(a+2) … (c-1)c = 20
20写成连续自然数的乘积只能是 4*5，或者c=20本身
所以
a=b=3, c=5或 a=b=19,c=20
(2)        a>b
7a! + 13b! < 20a!
所以 c! < 20a!
两边同除以 a!
(a+1)(a+2) … (c-1)c < 20
a+1到c 的连续自然数乘积<20
所以可能有以下情况：
i: c-a>3 四个以上连续自然数乘积<20，不可能
ii：c-a=3, 1*2*3<20，2*3*4>20, 所以c最大为3,      a,b无整数解
iii：c-a=2，3*4<20，4*5 = 20， 所以c最大为4,  a,b无整数解
iiii：c-a=1
7a! + 13b! = c! = a! (a+1)
两边除以a!
7+ 13/[(b+1)(b+2)…(a-1)a] = a+1
13/[(b+1)(b+2)…(a-1)a] 为整数，所以只能a-b=1且a=13
即a=13,b=a-1=12,c=a+1=14，不符合原命题等式，无解
(3)        a<b
同理可证a<b时无解

结论：有且只有两组解
a=b=3, c=5或 a=b=19,c=20

rainwater

gaogoss 发表于 2013-5-2 12:20
第二题我提供个简单的办法，如果是中学生的话，可以用余弦定理做，a^2=2^2+1^2-2*2*1*角的余弦；b^2=2^2+1^ ...

多谢了！

九年级，还没学过余弦定理，刚学了勾股弦定理，估计第二种方法她更容易理解些。

rogerk

milestone2011 发表于 2013-5-2 12:00
这是几年级的数学,
简直是外星语....

1、7a!+13b!=c!

假设a >= b, 我们可以有

7a! + 13b! = 7b! (a!/b!) + 13b! = b! [ 7(a!/b!) + 13 ] = c!

化简有

7(a!/b!) + 13 = c!/b!

从原式我们可以知道 c 至少大于等于a 也至少大于等于b, 有 c >= a, c>=b, 从上式有

c!/b! - 7 (a!/b!) = 13

(a!/b!) [ c!/a! - 7 ] = 13

我们用X = a!/b!, Y = c!/a!, 有

X [ Y-7 ] = 13

注意到13是个质数，所以XY有以下可能性：

X= 13， Y=8
X= 1， Y= 20

对于X=13，Y=8， 我们带入有:

a!/b! = 13, c!/a! = 8, 可以的 a  =13, b = 12, 但是c无法得到（记得我们假设c>=a), 所以这个是无效解。

对于X=1，Y=20， 我们带入有：

a!/b! = 1, c!/a! = 20, 可以得到第一组解 c = 20, a = b = 19
同时也能得到第二组解，c = 5, a = b = 3.

如果我们假设b>=a, 交换上式中的a和b，我们依然得到同样的两组X，Y的解，只不过有

X = b!/a!, Y = c!/b!

同上我们同样可以得出唯一的两组解为：

X = 1 = b!/a!, Y=20 = c!/b!, 得到 c = 20, a = b = 19， c = 5, a = b = 3.

所以最后答案，两组解为 a = b = 19, c = 20， a=b=3, c=5

水星浪子

第二题啊，题目没给角度是吧，我们就假设一和二是九十度，这样A B就都是根号5啦，哈哈。两个平方一加就是10了。

你可能问为什么可以假设是九十度呢？图片上明明不是啊？
因为题目中的角度可以是七十，也可以是八十，也可以是九十度，九十度最方便计算，只要给出一个答案就行了。

更深入些，把交叉点看为圆心，2那个就是半径了。剩下就简单了吧，呵呵。

话说，两个1长度不一样啊，这什么图啊？

rainwater

rogerk 发表于 2013-5-2 12:36
1、7a!+13b!=c!

假设a >= b, 我们可以有

太佩服了！足迹上的高手就是多！

可惜今天的分分用完了，先白条了，明天回血了一定补上。

dabaobiao

liuliang1958 发表于 2013-5-2 11:23
简单解法吧：
1、 把a线逆时针转到几乎水平，b线也就随着逆时针转到几乎水平。
2、 a -> 1, b->3

简单解法填空还行
要过程的话还要证明旋转后a*a + b*b的值不变才行

rainwater

水星浪子 发表于 2013-5-2 12:47
第二题啊，题目没给角度是吧，我们就假设一和二是九十度，这样A B就都是根号5啦，哈哈。两个平方一加就是10 ...

哈哈，好方法！

000567

第二题做垂线，然后勾股定理，假设就是等腰的话，更简单

水星浪子

dabaobiao 发表于 2013-5-2 12:48
简单解法填空还行
要过程的话还要证明旋转后a*a + b*b的值不变才行

要证明就是高等数学的求极限了...
可惜我大一全还给老师了...

rogerk

dabaobiao 发表于 2013-5-2 12:48
简单解法填空还行
要过程的话还要证明旋转后a*a + b*b的值不变才行

不用证明，你把它转到极限的时候，这个图上给定的条件都还是满足了，还需要什么证明。

dabaobiao

rogerk 发表于 2013-5-2 13:07
不用证明，你把它转到极限的时候，这个图上给定的条件都还是满足了，还需要什么证明。
...

满足条件不一定就是唯一解。

你那种转的情况只是符合题设的一个特例，你怎么知道其他符合题设的情况a*a+b*b是不是还等于10？

rabbit63

dabaobiao 发表于 2013-5-2 14:16
满足条件不一定就是唯一解。

你那种转的情况只是符合题设的一个特例，你怎么知道其他符合题设的情况a*a+ ...

同意LS. 8楼和11楼的才是正解.

limit-2010

第二个可以用  这个。http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius'_theorem
这个可以用cosine rule， 或者pythagoras证明

或者不用apollonius， 直接多用几次勾股定理也可以

brahmasky

汗一个，看答案之前完全没有方向

飘啊飘

九年级，这么难？
第二题，加辅助线，勾股定理，加一元二次的分解，都是目前的学习类容。
第一题，太难了，看了楼上的解答才有眉目的

飘啊飘

呼唤D妈妈，你们HD是不是也是老有这样考脑子的题？太挑战啦