数学问题：无限有大小吗

绿茵之谷

今天孩子问了我一个数学问题，把我难住了。

我问：0和1之间有多少数字？

回答：无数个。

问：那1和2之间呢？

答：也有无数个。

孩子问：那0和1之间的数字个数跟0到2之间的数字个数是一样的吗？还是0和2之间的更多？

我说：它们的个数都是无限，所以是一样的。

问： 可是两个无限加起来比一个无限大？

我不知道怎么回答了....

请教数学学霸怎么回答

rachelwang528

这是哲学问题啊

yzh1999

一样多。令：y=2x  x∈[0,1]，则任意x都有y∈[0,2]与之一一对应
话说是几岁的孩子问这样的问题啊

rayki

如果integer 的话。就没有。。  如果是float 就无限了

melissawen

学习了

绿茵之谷

yzh1999 发表于 2017-5-28 13:04
一样多。令：y=2x  x∈[0,1]，则任意x都有y∈[0,2]与之一一对应
话说是几岁的孩子问这样的问题啊 ...

您能用再通俗一点的语言解释一下么？小学y6的孩子

BreakingBad

http://igoro.com/archive/is-two- ... more-than-infinity/

nocowlevel

如果一个人想有多少钱，就能拿到多少钱，另一个人想有多少钱，就能拿到两倍想要的钱，那么这两个人其实都是一样的富有，反正他们都有用不完的钱。

[补充] 考虑到第二个人的钱还是要来得容易点，所以虽然他们是一样富有，第二个人的“富有”的“质量”（已经不是常规运算的概念了，应该就是后边朋友提到的无限集合的“势”？）还是要高点。

绿茵之谷

[0,1] 是一个集合，[1,2]是一个集合， 两个集合都不为空，那么两个集合相加会不会大于其中一个集合？

nocowlevel

“无穷”已经是个概念（想有多少就有多少）而不是数字了，普通的运算法则和大小比较不能运用在无穷上了。

绿茵之谷

nocowlevel 发表于 2017-5-28 13:35
如果一个人想有多少钱，就能拿到多少钱，另一个人想有多少钱，就能拿到两倍想要的钱，那么这两个人其实都是 ...

那如果第一个人把全部钱捐赠，第二个人捐赠与第一个人同样的钱，捐赠完后第一个人的钱为0，第二个人还剩下无限的钱，是不是这样

ggmmusst

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:35
[0,1] 是一个集合，[1,2]是一个集合， 两个集合都不为空，那么两个集合相加会不会大于其中一个集合？ ...

无限集合的加减法不适用就行了

nocowlevel

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:39
那如果第一个人把全部钱捐赠，第二个人捐赠与第一个人同样的钱，捐赠完后第一个人的钱为0，第二个人还剩 ...

你的意思是第一个人捐了“无穷多”，但其实他自己剩下的，还是“无穷多”。所以和第二个人还是一样的

“无穷”不是一个数字，而是想有多少，就有多少

绿茵之谷

ggmmusst 发表于 2017-5-28 13:42
无限集合的加减法不适用就行了

如果说加减法运算不适用于无限的概念的话，那么说一个无限集合和另一个无限集合相等的说法是不是也不能成立？毕竟相等的概念是基于数字运算的。

nocowlevel

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:44
如果说加减法运算不适用于无限的概念的话，那么说一个无限集合和另一个无限集合相等的说法是不是也不能成 ...

https://www.quora.com/Is-infinity-equal-to-infinity

infinity is not equal to infinity

yzh1999

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:30
您能用再通俗一点的语言解释一下么？小学y6的孩子

就是说，在[0,1]任意找一个数，都可以在[0,2]里找到对应, y=2x。
反之，在[0,2]任意找一个数，都可以在[0,1]里找到对应, x=0.5y。
不存在无法找到对应的情况，所以两个集合一样大

绿茵之谷

nocowlevel 发表于 2017-5-28 13:44
你的意思是第一个人捐了“无穷多”，但其实他自己剩下的，还是“无穷多”。所以和第二个人还是一样的 ...

捐了无穷多还剩无穷多的，是第二个人，第一个人是捐了全部，归零。

绿茵之谷

如果从[0,2]的集合里去掉所有属于[0,1]的元素，[0,2]里还不会变成空，是否能说明[0，2 ]的元素数目更多？

Mushroomm

这是数学的一个分支集合论中讨论的问题。无限集合大小的度量单位叫集合的势。
回答楼主的问题，这几个区间内数的"个数”都是无限个。不能说谁比谁的个数多。因为这几个集合间的数字可以做一一对应的关系，像楼上说的那样，所以它们的"势”相同。从这个意义上可以说"个数”相同，尽管区间0-2比0-1多出好多数字。
问题的关键在于"个数”是有限集的概念，无限集应该换一个度量单位来比较。这样就很清楚了。

nocowlevel

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:57
捐了无穷多还剩无穷多的，是第二个人，第一个人是捐了全部，归零。

感觉越来越好玩了 ，

刚才我们的假设是：
A：想要多少钱，就有多少钱
B：想要多少钱，就有两倍想要的钱

那么我们说他们的钱都是无穷多。“想要多少钱，就有多少钱”，这实际上是种能力，而不是具体的可以加减的数字了。

再考虑捐款：

你说的A捐出所有，让A归0，实际上是要他把这个 “想要多少钱，就有多少钱”的能力一次性地给别人，这样A确实一无所有了。

那么问题在于：B要捐到什么程度，才能说是和A捐出的是“一样”的？

如果B是捐出了任意一个具体数字，我都不认为能达到“和A同样”的效果；所以B也只有把这个能力捐出去，那么B也将和A一样一无所有。

绿茵之谷

Mushroomm 发表于 2017-5-28 14:12
这是数学的一个分支集合论中讨论的问题。无限集合大小的度量单位叫集合的势。
回答楼主的问题，这几个区间 ...

就是说要另引入一个概念“势” 来解决无限集合的计算问题

jga000

举个例子吧，比如自然数是无限的，实数也是无限的，但是实数比自然数多。

但是如果在实数域上考虑闭区间[0,1]和[0,2]，通俗的说他们的数是一样多的，因为可以建立出[0,1]到[0,2]的一一映射。

nocowlevel

Mushroomm 发表于 2017-5-28 14:12
这是数学的一个分支集合论中讨论的问题。无限集合大小的度量单位叫集合的势。
回答楼主的问题，这几个区间 ...

这位亲说到点子上了

Mushroomm

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:44
如果说加减法运算不适用于无限的概念的话，那么说一个无限集合和另一个无限集合相等的说法是不是也不能成 ...

无限集合的加减，相等都是有意义的。
只有两个无限或有限集合含有完全相同的元素，才能说这两个集合相等。
无限集合的大小相等是个很含糊的说法。数学专业中是比教无限集合的势是否相等。

nuptwg

纯数学的角度看两个集合等势，从宏观角度看大部分场合0-1，0-2都不可以无限分割，比如钱你最多分到cent就停了，所以两个不等同。

jga000

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:35
[0,1] 是一个集合，[1,2]是一个集合， 两个集合都不为空，那么两个集合相加会不会大于其中一个集合？ ...

看你怎么定义“大于”其他一个集合了。

如果你把集合的包含定义为大于，那它们的和肯定大于其中一个集合。
如果你把大于看作比实数多少，那么答案是不大于，是一样的。
如果你把大于看作比自然数多少，那答案也是大于的。
。。。

jga000

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 13:44
如果说加减法运算不适用于无限的概念的话，那么说一个无限集合和另一个无限集合相等的说法是不是也不能成 ...

相等的概念也不是基于数字运算的。
不过六年级仔细讨论这些稍微有点早，建立更多的数学概念以后，再水到渠成的引入这些问题比较好，否则容易混淆，或者钻牛角尖。

绿茵之谷

Mushroomm 发表于 2017-5-28 14:28
无限集合的加减，相等都是有意义的。
只有两个无限或有限集合含有完全相同的元素，才能说这两个集合相等 ...

那我在18楼里说的两个无限集合的相减成立吗？ [0,2]减去[0,1]是否得出[1,2]的集合

jga000

绿茵之谷 发表于 2017-5-28 14:41
那我在18楼里说的两个无限集合的相减成立吗？ [0,2]减去[0,1]是否得出[1,2]的集合 ...

可以啊，只要这里的减法的定义是集合的包含就可以。不过应该是(1,2]

绿茵之谷

jga000 发表于 2017-5-28 14:36
看你怎么定义“大于”其他一个集合了。

如果你把集合的包含定义为大于，那它们的和肯定大于其中一个集合 ...

哦哦，包含和个数是不同的