闲来扯个蛋———家里的娃也学数学

不是小胖子

应两千和虎妈的建议，也来开一个家里的孩子学数学的帖子。

通篇娱乐，我写着玩，各位看个乐。

先放免责声明：
所有内容仅针对中小学部分的数学。
鉴于本人学识有限，加之写的比较随意，文中必有大量的词不达意甚至是谬误，敬请见谅。
内容涉及大量的主观臆测、猜想、假设和脑补等极不靠谱的成分，“如有雷同，纯属巧合；如有争议，必是您对”。

不是小胖子

一、关于什么是数学

数学就是把复杂的事物简单化（个人偏见）。

比如：乘法就是加法的简化，乘方就是乘法的简化。

用比较文艺的方式来说，数学就是“用最勤奋的态度，寻最懒惰的方法”。

不是小胖子

二、数学学习的不同目标

这里的目标针对同一知识点（掌握程度或者说应用能力），而非学历高低。

1、知其然：对应下图白色部分。

2、知其所以然：对应下图黄色部分。（后面会展开说1、2两部分）

3、穷其所以然：对应下图红色部分。

这里的因果关系是“如果我想在下图右边部分有所成绩，那我至少应该有相对应的左边部分的学习态度”。（天生圣体不在讨论之列）

PS：如果仅为准备Scholarship/OC/Selective考试，个人认为绝大部分情况下通关“知其然”的水平足矣。

不是小胖子

三、数学学习需要的基本素质

笼统地来讲，如果有所追求的话，需要
1、好奇心/探究欲
2、耐心
3、信心/进取心

PS1：下文会做针对性说明
PS2：本文不讨论天赋资质，一切探讨仅限于个人力所能及的范围。换言之，这里讨论的是“韦小宝拿什么武器，穿什么防具，使用什么他能学得会的武功可以实现个人武力的最大化”，而不是说“即使韦小宝身披软猬甲，倚天屠龙在手，挥刀自宫，依然被只会太祖长拳的萧峰赤手空拳一招秒杀”。

不是小胖子

四、数学学习中关于“教”与“学”的一些体会

混迹足迹也有不少年头，一直没有详细的聊过关于数学学习的问题。主要原因大致如下：
一、水平低微（懂的不多，何必卖弄）
二、是懒
三、表达能力欠缺（记得谁说过“思想一旦转化为语言，至少缺失80%的内容”，想要清晰的表达一个想法本就是一件困难的事情，况且能力有限）
四、见仁见智（有些话题天生容易引战，事本无对错，奈何争高低）
五、不可复制（每个人的教育成长路线都是unique的，霍霍自己的娃充其量是“自作自受”，误导别人家的孩子就是“罪无可恕”了）

PS：再次申明，请各位看官把所有内容当作娱乐来看，如若实操，后果概不负责。

---------------------------------------------------------------

1、关于数感（图形感知，空间感知等相似概念不重复叙述）

“数感”是指对数字和数学概念的直觉理解和感知能力：它似乎无处不在，又往往无迹可寻；它与生俱来（天赋），却又可以习得（熟能生巧）。它既是技巧，又是能力。

先天的部分我们无法改变，那么我们能做的就只剩下“熟能生巧”了。网上搜一下“数感如何培养”，结果成千上万。搭积木，算24点，甚至是站在马路边强记驶过车辆的车牌号。各人可以根据自己的喜好、阶段以及客观环境选择合适自己的，这里就不进一步赘述了。

---------------------------------------------------------------

2、关于超前学习和深度学习

假设我们现在在一个非洲部落，每个人都需要学习狩猎（数学）技能。

按照部落的传统，10岁的儿童学习使用陷阱抓鸟雀（小学）；15岁的少年学习使用弓箭狩猎兔子（中学）；20岁的青年学习使用枪械猎杀狮虎（大学）。之所以这样设计，是因为一般10岁的儿童拉不开弓，而15岁的少年又承受不了枪械的后坐力（这里不讨论后座力和后坐力哪个正确）。

但凡事总有例外：有些娃天生神力，10岁就能拉开弓，甚至无视枪械的后坐力，那自然可以勇猛精进，杀狮猎虎（超前学习）。另一些娃没有天生神力（或有神力但缺钱买不起武器），但因为某些因素（比如特别喜欢挖坑，或者因为父逝母瘫早早地成为了家中唯一的经济支柱）研究如何用陷阱捕猎更多的猎物如田鼠，兔子，平头哥，野猪甚至狮虎等猛兽（深度学习）。

PS：例子并不是那么的好，和后面的3有些混淆。但因为懒+能力有限，就这么着吧。

这里将问题尽可能的简单化了，现实中还要考虑到比如：
时间成本：娃还要学烹饪猎物（英语），鞣制皮革（体育），农作物种植（乐器）以及毛发编织（美术）等等
经济成本：枪械练习中的子弹消耗是否能承受
环境因素：枪是有，娃也是天生神力，但全部落没有一个人会用（教）

作为“育儿经”中排得上号的引战话题，我一直犹豫要不要讨论这个话题。为了防止不必要的争论，这里不讨论优劣对错，只谈我自己带娃过程中的一些体会。自家经济条件比较差，种植买不起地（乐器学费太贵），编织顶不住毛发消耗（画画费不起颜料和画布），烹饪和制皮娃又没有兴趣。与其整天在地里玩泥巴（每天放了学捧着个平板不放），不如做点数学练习，好歹低年级的时候爹妈勉强能教，也不用请补习老师（尤其是在lockdown期间）。至于学什么，主打的就是一个“条件许可下的随性”：娃要尝试挖个大坑抓猛兽，那就挖呗，又不费什么钱；娃要是想尝试玩玩枪械，五四AK之类（可以论斤卖的枪）的家里咬咬牙也就买了，巴雷特瓦尔特之类（狙击枪，一发子弹够全家下一次馆子）的请重新投胎。

---------------------------------------------------------------

3、关于降维攻击和升维攻击

还是以刚才的非洲部落举例子。假设现在有一场猎兔大赛，举办方默认参赛选手会使用弓箭作为捕猎手段，同时也不限制陷阱和枪械的使用，但参赛人员的年龄上限为15岁。那么显然，天生神力能使用枪械的选手会占据明显的优势（降维攻击）；而掌握了更精深陷阱技巧的低龄少年，也因此具备了参赛资格（升维攻击，能用陷阱捕猎兔子）。

这个话题和前面的2（超前学习和深度学习）看似相似，但个人认为其中还是有不同之处。比如超前学习和降维攻击的核心差异在于：
---超前学习的核心是15岁具备20岁的能力然后做20岁的人才能做的事：如16岁的亚马尔在欧洲杯中展现出了一般26岁的选手才能达到的水平。（这里的重点是指两个人最终达到的上限相当，但一个人比另一个早很多就接近或达到这个上限）
---降维攻击的核心是15岁具备20岁的能力然后疯狂屠戮其他15岁的人：如16岁的亚马尔在U17的比赛中平均每场进球达到两位数。

大部分时候（如足球的例子），降维攻击的意义往往并不大，因为当亚马尔在与同龄人的比赛中可以场场灌10球的时候，他一定会很快升入更高的组别（无论从个人成长还是经济收益的角度来说，留在同龄组都不是一个最佳选择）。

但是在某些特定的时候（如猎兔大赛），因为规则的原因，降维攻击的收益会被无限放大。但是，我们需要注意的一点是，绝大部分降维攻击的手段都存在时效性，而要具备降维攻击的能力必然需要付出额外的成本，那么，投入产出比就是一个必须要考虑的问题。（“不差钱”的不在讨论之列，梅西这种步频可以维持持续性降维打击直至退役的也不在讨论之列）

和2（超前学习和深度学习）相似的是，无论是降维攻击还是升维攻击，大多也需要考虑个人（家庭）条件和投入产出比。

---------------------------------------------------------------

4、关于具象化和抽象化

这个问题和“reading&writing”有些类似。限于表达能力，简单来说就是：看得懂题目，（用数学语言）表达得清楚。


无论是理解能力还是表达能力，想要提高，练习是必不可少的。至于强度/难度/持续时间，因人而异，这里不做讨论。

---------------------------------------------------------------

5、关于微观化和宏观化

我很喜欢把这个概念想象成zoom in/zoom out，如果把一道（比较复杂）问题看作一张地图，那么想要熟悉这张地图，大量的缩放观察是必不可少的。


---------------------------------------------------------------

6、关于“仔细观察-大胆假设-小心求证”

这是个人最喜欢的数学学习方式，没有之一（做不做得到另说）。关于这点其实很想展开说说，但一时又不知从何说起，还是留到具体的问题中吧。


---------------------------------------------------------------

7、关于审美

记得《勿言推理》（应该是，不重要）中有一句很喜欢的话。女主（可能不是，也不重要）回忆说小时候很喜欢画画，男主问她为什么后来没继续画下去，女主说有一天突然发现自己的画好丑，觉得自己没有这方面的天赋，就再也不画画了。男主说：“有没有一种可能，你觉得自己的画丑，是因为审美提高了呢？这不是你进步的证明吗？”（不是原话，大致意思如此）

数学学习（以及其他学习）的时候同样如此，当你有一天看着自己的解答，惊呼：“这个解法好蠢！”请告诉自己，这是进步的证明。

---------------------------------------------------------------

8、关于超纲（暂时就写到这，未来可能待续）

不是小胖子

五、实例1

相比前面的一大堆废话，我其实更乐意讨论具体的数学问题。但是一来本身水平有限写不出啥有价值的东西，二来这种东西往往是“看得懂的不需要看，看不懂的没兴趣看”。这里先写一道娃刚做过的题目，如果有人有兴趣，那就不定时更新，如果没人，那就到此为止。



这道题如果仅仅只要答案的话，对三四年级的娃来说可能都不算超纲。大部分娃应该都能很轻易的判断出左图周长最短，右图周长最长。但是如果需要写过程的话（也就是需要证明左边周长最短，右边周长最长），题目立马上升到九十年级的竞赛难度。

“我知道答案是什么，但我说不清楚为什么答案是这个”，这是很多孩子处于的阶段：知其然不知其所以然。

但有时会有一些奇葩（这里不是贬义词，是100%的褒义词）的孩子会给出暴力证明：我列举了所有的排列方式（其实只有12种，并不算很难），并计算了每种情况的周长，由此证明左图周长最短，右图周长最长。

单从做题的角度来说，这个方法完全没有问题，而且这往往说明孩子有耐心且计算能力较强（不畏惧/讨厌大量的计算）。但是从学习的角度来说，这种方式依然属于“知其然而不知其所以然”的范围，所以我们做父母的就应该适时的拿出下图，并引用那句著名的台词：“阁下该如何应对？”

不是小胖子

act_nan 发表于 2024-7-11 20:08
小孩说，也就20!的一半嘛，编个小程序就搞定了…

你让他试试，看循环20！次需要等多久才能出结果。

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-11 20:38
楼主你那道题目，是要证明左边图片的周长比右边大？

原题的问题是周长最长和最短差多少。我追加的问题是：你怎么证明你说的最长是最长，你说的最短是最短？

不是小胖子

小小白虎 发表于 2024-7-11 20:57
这是你原创么？厉害厉害

必须原创。

PS：既然答应了两千，你也付了订金，不论是太监还是烂尾，怎么也要糊弄一下。

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-11 22:05
这么回答行不行？

There are multiple possible arrangements, but the largest possible perimeter is  ...

个人观点，整体的描述距离“知其所以然”还有一点距离（不具备通用性，无法用来解释后面的“阁下该如何应对”）。

但是已经开始抓住问题的本质了，重点就是这句：

【since the bottom and top lengths of the rectangles will always be the same】

将这句话表达的思想继续深入下去，我们就能得出：

【红色长方形外沿的每个部分都能在黑色长方形组合的外沿中找到不重复的对应】（如左下图）

将这句话进一步转化成数学表达：

【红色周长≤黑色周长】

再进一步：

【红色周长不变，且黑色周长可以等于红色周长】

于是我们得出：

【红色周长即最短周长】



证最长相对来说简单一些（可以直接枚举）：

【20个矩形一共19个接触边】

然后

【所有可能的接触边中，最短的19个是2，2，3，3，4，4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，10，11，且可以同时达成】（如右上图）

由此

【接触边之和最短，则剩余边之和（即周长）最长】


PS：英文不好，就用中文表达了，并且写的比较偷懒，请见谅。（意思基本到了，将就一下吧）

不是小胖子

小小白虎 发表于 2024-7-12 00:28
写得很有特色，感谢分享你的心得。
能否展开解释一下“尽其所以然”是想表达什么意思？

master AMC了算知其然
master AMO了算知其所以然
master IMO了算尽其所以然
是这个意思么？
-----------------------------------------------------------------------
我想表达的意思是反过来的（表达能力太烂，请见谅）。
如果想要master AMC，知其然的态度基本就够了；
如果想要master AMO，知其所以然是至少的态度；
如果想要master IMO，首先从态度上必须要追求穷其所以然。



能否展开解释一下“尽其所以然”是想表达什么意思？
-----------------------------------------------------------------------
行文中我用的是“穷”，图片中的“尽”是笔误。
按我的理解，“尽”是“全部”的意思，而“穷”是“尽可能多”的意思。后者更贴切，前者是目标（可以追求，无法到达）。

个人观点，单纯的兴趣爱好，即只钻研自己感兴趣的部分，可以支撑一个人走到黄色部分（最高到AMO），但是无法走到红色部分。（这里不讨论那些“我很少举一反三，因为我一般都是直接无中生有”的天生圣体）

先说一个个人的偏见，如果要做类比的话，我更倾向于【数学≈体育】，而不是【数学≈100米跑步】或【数学≈跳高】。以此类推，我们可以大致认为【速算≈100米跑步/跳高】。但是尴尬的是，如果你是100米世界冠军或跳高世界冠军，无论谁都会认为你有顶级的运动天赋，哪怕你是一个旱鸭子；而如果你是一个速算的世界冠军，但解应用题的时候常常连题目都看不懂，估计连你自己也不会认为自己有数学天赋。这里的差别在于，初等数学在整个数学中的地位太低了，低到基本没有人会对其不同领域进行划分。换言之，如果我们还是用【体育】来类比【数学】的话，那么中小学阶段稍微有点影响力的竞赛只有一个【十项全能】。

但就好比体育运动，你不能指望一个人同时拥有蛙泳（腿长，参考蛙腿）和自由泳（腿短，参考鱼尾）的顶级天赋（以上是我胡扯，非人身攻击），同样你不能指望一个人对数学涉及的所有方向（如几何、代数、概率、数论等）都非常感兴趣并且极具天赋。

如果你完全跟着你的兴趣走，比如你只喜欢概率和数论，你付出了一定的时间钻研，那么即使你基本放弃（这里的放弃指不尽全力钻研）几何和代数，你依然有可能在AMO上拿到一个不错的成绩。换言之，黄色部分，你可以做到“非常快乐，只有快乐”。

但是再往上走，快乐会逐渐的减少，随之而来的痛苦会逐步的增加。因为之后的竞赛需要的是“千锤百炼的强，无懈可击的强”，不管你喜不喜欢，不管你擅不擅长，你都要尽可能做到你个人的极致。好比你是围棋选手，每天要练两个小时长跑；或者你是射击选手，每天要练20组跳水。

到这个阶段，一定有一些单纯的兴趣之外的东西在支撑你（再次强调，这里不讨论天生圣体）。
它可以是进取心/好胜心/攀比心/功利心/虚荣心/父母的压迫/藤校的诱惑.....（这行是完全的扯淡，请无视）

随想随写地胡扯了一通，这样算“展开解释”了吧？

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-12 09:22
我想讨论一下楼主帖子里的关于时间成本这部分。

如果兴趣广泛，时间不够的情况下就只能利用时间碎片靠自己 ...

在时间不够的前提下，是应该先学数学知识点还是做难题？
-----------------------------------------------------------------------------
这个问题有点笼统（前提和目标都不清晰），我就想象着【胡扯】一下：
如果针对课内基本知识点，那么先知识点后（配套）题目是比较正统的做法（较有效率）。
而在提高阶段，跟着题目，熟悉每次遇到的知识点感觉更“合理”（这个用词比较难把握）一些。

好比知识点是不同的螺丝刀，而题目是不同的螺丝。
最开始我们学习基本知识，就是知道【螺丝刀是用来拧螺丝】的，或者说【拧螺丝需要用到螺丝刀】。
而当我们工作/练习的时候，一般我们遇到问题是“拧这个螺丝要用哪个螺丝刀？”而不是“这把螺丝刀可以用来拧哪个螺丝？”


发现自己在数学不同方向上的喜好不同，但是不确定对应哪个专业
-----------------------------------------------------------------------------
这个不敢胡扯，怕误人子弟。
但是个人有个绝对稳妥的法子：看各专业中必修的数学相关课程有哪些。

不是小胖子

小小白虎 发表于 2024-7-12 16:03
太感谢了...我觉得你点出了我们一直以来得纠结

就是凭兴趣自由发展在AMO上拿到一个不错的成绩，但是往前 ...

你这已经是属于“今夜做梦也会笑”了。

我家老大考完AMO之后开始关心“KFC打工多少钱一个小时...”

不是小胖子

小小白虎 发表于 2024-7-12 16:45
我是一直知道，也是很知足

不过孩子还是要向好的方面看，我们九年级的时候AMO是惨不忍睹，你们这才八年 ...

Gold你还不满足，那就属于虐待儿童了。

对，8年级，现在只愿意做做AMC的past paper。

他心性不适合学奥数：思维够跳脱，但严重缺乏耐心，并且极度讨厌大量的计算。简单来说就是坐不住。

PS：假期打了两个星期的工（每天4-5个小时的体力劳动，每个星期三天），很开心，因为“这样爸爸就没法逼我做数学了”。

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-13 12:08
这个螺丝刀的比喻我讲给她听了，今早我看她电脑屏幕上是past paper ：）

让她试试这题。

不是小胖子

小小白虎 发表于 2024-7-13 13:12
不怕同学是学霸，就怕学霸放暑假
开学一系列比赛（AIMO，AMC，AMOC，APHO，ACHO），这个冬假又不旅行，我 ...

学霸最后拼的就是身体…

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-13 14:05
她不确定她看懂题目了。因为不知道什么是uniform probability. 如果是指随机选择在圆上的四个点，她觉得 ...

她的答案是正确的。

"Uniform probability" refers to a probability distribution where all outcomes are equally likely. In other words, each event in the sample space has the same probability of occurring. For example, if you roll a fair six-sided die, each of the six faces (1 through 6) has an equal probability of 1/6 of landing face up, representing a uniform probability distribution over the six possible outcomes.
                ---------by chatgpt

我贴个答案，你让她看了以后再想想，该多学知识点，还是该多做题（玩笑）：

大学方法（应该是吧）：


中学方法（应该是吧）：


小学方法（应该是吧）：

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-13 14:05
她不确定她看懂题目了。因为不知道什么是uniform probability. 如果是指随机选择在圆上的四个点，她觉得 ...

基于这题她回答的如此轻松，你再问她：

What is the probability that a triangle formed by three randomly chosen points on a circle is an acute triangle?

PS：昨天娃做了前面一题，晚上做梦我梦见了现在这题......

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-13 16:06
答案是不是1/4?

我觉得是，但我没有标准答案。

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-14 00:33
这个四分之一，她说她试了两种法子，第一种做出来不确定做对了，第二种做出来答案一样。

来，继续，最后一题把圆改成平面，其它不变。

不是小胖子

小小白虎 发表于 2024-7-18 12:59
最近IMO如火如荼地进行着...
前几道题目好像已经公开了，感兴趣的可以拿来看一看
感受一下也好的 ...

爹妈已经吃不消了，让你娃来讲解下吧????

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-18 13:34
改成平面是啥意思啊。

她和朋友们出去玩了，周末回来。

无限平面上随机三个点组成一个三角形，锐角三角形概率是多少？

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-20 22:46
完了，她觉得思路有，但是不知道怎么计算出比例。

中间应该是circle吧

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-20 22:46
完了，她觉得思路有，但是不知道怎么计算出比例。

我会用个圆把3个点圈起来，这样就是前面一题了

注意：这个方法并不正确（至少并不严密）。

有兴趣可以让娃自行观看下面的帖子和视频。

https://www.youtube.com/watch?v=XxHIrVTLubE

https://www.mathpages.com/home/k ... %20probability%20is,acute%20is%20exactly%201%2F4.

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-21 17:29
她想知道她的方法可不可以用， 有没有缺了什么。

There can only be one monster in each column. If you  ...

哈哈，我和她想的一样。。。太粗心了，估计可以拿1分

consider bad luck

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-21 17:29
她想知道她的方法可不可以用， 有没有缺了什么。

There can only be one monster in each column. If you  ...

这个给她想了一段时间没想出来后再看：
（文字就不写了，应该能理解）

不是小胖子

神探狄仁杰 发表于 2024-7-21 19:40
我问娃你有没有miss了啥，她说是不是staircase situation ，从边上走就行了。我说还有其他的，不过为啥那个 ...

野兽般的直觉，天赋拉满。

不是小胖子

whitecats 发表于 2024-7-22 14:26
精华大胖子

有一些youtube video推荐吗？

因为学习方式的问题，我们家学习基本上不会专门追着某个频道。

我们更多的是把youtube当作字典，当需要认识/理解某个字的时候去查一下。

我们喜欢“实践出真知”的路线（其实是没钱上补习班），做题遇到需要的公式/定理时再去学习。比如需要用到“倍角公式”时，可以直接在YOUTUBE搜索“double angle formula proof”，然后挑一些“看得顺眼”的内容看。例如：

https://www.youtube.com/watch?v=mKPgmaoGC4o

https://www.youtube.com/watch?v=0ggGQ96eaiE

https://www.youtube.com/watch?v=2yRAh9gqUw0

挑选标准主要有：
-时间短（看不明白再挑时间长的）
-颜值高（尽可能挑有可视化表示的，便于“具象化”理解）
-方法多（多角度认知）

PS：如果没有特指条件的话，学习基本知识我推荐可汗学院，免费+全面，不能要求更多了。

不是小胖子

Nosugarcoffee 发表于 2024-7-26 09:49
楼主，可以介绍一些数学书吗？适合10年及以上的。谢谢！不一定是练习书，可以是和数学相关的书籍。 ...

你的问题不是太具体，比如你家娃的水平，目标等，所以我只能按我理解大概回答一下。

我大致把数学学习需求分三档：
1、校内（只关乎高考）
因为我家小孩年级还比较低，所以我对10年级以上课内数学（主要是高中低数，VIC）的教学需求基本上一无所知。所以，如果你的具体问题是非常具体的，诸如“如果准备考中数，适合看些什么书？” 我真的不知道（我觉得高考应该不需要看额外的数学书吧）。
如果问题仅是“10年级及以上可看”的话，我会推荐下面拓展类中的Precalculus和Calculus。

2、拓展（出于各种原因，愿意多学一些，不一定搞竞赛）
除了之前的两本，还可以加两本the Art of Problem Solving。

PS：以上的四本，即使对高考来说，也是有一定作用的，比如提高思维的敏锐度，提高解题的速度，换句话说，对提高解题的效率是有帮助的。当然，这个帮助有大...见仁见智了。另外，买的时候一定要把答案一起买了，否则...




3、竞赛
这一本啃完，基本上AMO拿个gold没啥问题。

PS：如果不搞竞赛，完全不需要看，对高考基本上一点帮助都没有。另外...没有答案，差评。

不是小胖子

Nosugarcoffee 发表于 2024-7-26 11:18
谢谢你详细的解答。我们属于第二种，现在只是对数学有兴趣，想多学一点，对竞赛没有太多兴趣，但也会考虑 ...

个人建议，条件许可的话，啃这几本书时找个能答疑的学长或老师，不然娃看到诸如“众所周知、简答可证”之类的解答时很容易抓狂。